Τι ακριβώς σημαίνει η σχέση αβεβαιότητας χρόνου-ενέργειας;

Πηγή: Συχνές ερωτήσεις Μάρτιος 2008

Όλοι σχεδόν γνωρίζουμε στην κβαντομηχανική, την περίφημη σχέση απροσδιοριστίας μεταξύ θέσης και ορμής ενός σωματιδίου Δq·Δp ≥ ħ/2
Το νόημά της είναι ότι δεν μπορούμε συγχρόνως να μετρήσουμε με όση ακρίβεια θέλουμε, τις τιμές των τελεστών της ορμής και της θέσης ενός σωματιδίου.

Όλοι επίσης έχουμε ακούσει να λέγεται ότι ο χρόνος ως προς την ενέργεια είναι όπως η θέση ως προς την ορμή, κι έτσι ισχύει μια όμοια μορφή απροσδιοριστίας μεταξύ χρόνου και ενέργειας. Κάτι σαν αυτό: Δt·ΔΕ≥ħ/2.

Όμως εδώ έχουμε ένα πρόβλημα. Η ενέργεια είναι ένας τελεστής στην κβαντομηχανική και Ε είναι οι μετρήσιμες τιμές που μπορεί να πάρει ο τελεστής αυτός. Ο χρόνος όμως δεν είναι τελεστής. Συνεπώς, τι νόημα μπορεί να έχει μια τέτοια σχέση;

Στην κβαντομηχανική, υπάρχει ένας τελεστής που λέγεται Χαμιλτονιανή, και του οποίου οι πραγματικές τιμές που μπορεί να πάρει όταν κάνουμε μια μέτρηση, εκφράζουν τις τιμές τις οποίες μπορεί να έχει η ενέργεια του συστήματος που μετράμε. Αντίστοιχος όμως τελεστής για τον χρόνο δεν υπάρχει. Ο χρόνος αντιμετωπίζεται στην κβαντομηχανική ως μια εξωτερική παράμετρος του συστήματος. Αυτό μπερδεύει τα πράγματα και μας κάνει να αναρωτιόμαστε αν η απροσδιοριστία χρόνου-ενέργειας υπάρχει πράγματι και τι ακριβώς σημαίνει.

Θα προσπαθήσουμε εδώ να δώσουμε μια από τις αποδείξεις που υπάρχουν γι αυτή τη σχέση απροσδιοριστίας, και μέσα από αυτή την απόδειξη να καταλάβουμε και τι ακριβώς δηλώνει.

Έστω H ο τελεστής της Χαμιλτονιανής, που τον υποθέτουμε ανεξάρτητο του χρόνου. Δηλαδή ο χρόνος δεν εμφανίζεται εκπεφρασμένα στον τελεστή αυτόν. Ο τελεστής της Χαμιλτονιανής είναι εκείνος που περιγράφει όλα τα είδη ενέργειας του συστήματός μας. Έστω επίσης ότι μιλάμε για μια μη σχετικιστική περίπτωση συστήματος.

Έστω x ότι είναι μια κυματοσυνάρτηση του συστήματος και Α κάποιος άλλος τελεστής που αντιστοιχεί σε κάποιο άλλο παρατηρήσιμο-μετρήσιμο μέγεθος.

Η μέση τιμή του Α όταν το σύστημα βρίσκεται στην κυματοσυνάρτηση x, συμβολίζεται ως <Α> = <x, Ax> και ως ΔΑ ορίζουμε την ποσότητα

Το ΔΑ εκφράζει τη στατιστική απόκλιση του μετρήσιμου μεγέθους Α από τη μέση τιμή του, όταν το σύστημα βρίσκεται στην κυματοσυνάρτηση x.

Μετά από κάμποσες αλγεβρικές πράξεις καταλήγουμε στην εξής ισότητα για το γινόμενο ΔΑ·ΔΗ.όπου ΔΗ είναι η στατιστική απόκλιση του τελεστή της Χαμιλτονιανής δηλαδή η στατιστική απόκλιση της μετρούμενης ενέργειας Ε.
2·ΔΑ·ΔΗ = | <ΗΑ-ΑΗ > | (1)

Να ξαναθυμίσουμε εδώ ότι | <ΗΑ-ΑΗ > | σημαίνει | <x, (ΗΑ-ΑΗ)x > |.

Στην κβαντομηχανική αποδεικνύεται γενικά για οποιονδήποτε τελεστή Α, ότι η ποσόητα | <x, (ΗΑ-ΑΗ)x > | είναι ανάλογη του ρυθμού μεταβολής της μέσης τιμής του Α. Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

(2)

Συγχωνεύοντας την (1) και την (2) παίρνουμε:


Στην τελευταία αυτή σχέση φαίνεται ότι η απροσδιοριστία του χρόνου εκφράζεται ως ο μέσος χρόνος που χρειάζεται, ξεκινώντας από την κυματοκατάσταση x, ώστε η μέση τιμή ενός παρατηρήσιμου μεγέθους που εκφράζεται με ένα τελεστή Α, να μεταβληθεί κατά μια φορά τη στατιστική απόκλιση.

Ο ορισμός αυτός αποτελεί ένα εύλογο ορισμό για την απροσδιοριστία του χρόνου, διότι μας δίνει το συντομότερο χρονικό διάστημα που χρειαζόμαστε για να παρατηρήσουμε μεταβολές όταν μετράμε το μέγεθος Α επί της κατάστασης x.

Στο σημείο αυτό θα μπορούσε κάποιος να προβάλλει την εξής αντίρρηση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας τελεστής Τ που αντιστοιχεί σε κάποιο παρατηρήσιμο μέγεθος και για τον οποίο ισχύει: <x, (ΗΤ-ΤΗ)x > = iħ.

στην περίπτωση αυτή σύμφωνα με τα παραπάνω θα ίσχυε ότι d <T>/dt = 1

κι έτσι το παρατηρήσιμο μέγεθος Τ θα μπορούσε να λειτουργήσει σαν ρολόι. Θα αύξανε κατά ένα δευτερόλεπτο ανά ένα δευτερόλεπτο χρόνου. Με άλλα λόγια θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τελεστή ως ένα τελεστή χρόνου που θα αποτελούσε παρατηρήσιμο μέγεθος.

Για ένα τέτοιο μέγεθος θα ίσχυε: ΔΤ.ΔΗ= ħ/2 η περίφημη δηλαδή σχέση της απροσδιοριστίας του χρόνου όπως την γράφουμε συνήθως.

Δυστυχώς όμως για τις ρεαλιστικές Χαμιλτονιανές που γνωρίζουμε, τέτοιος τελεστής-παρατηρήσιμο μέγεθος Τ, δεν υπάρχει!

Δεν υπάρχει τελεστής χρόνου!

Το καλύτερο λοιπόν που μπορούμε να κάνουμε είναι να πάρουμε έναν οποιονδήποτε τελεστή Α ως χρονόμετρο. Δεν μπορούμε βέβαια να έχουμε d<A>/dt = 1 για όλες τις καταστάσεις x, αλλά μπορούμε να κάνουμε τον ρυθμό αυτό μεταβολής κοντά στη μονάδα. Και στη συνέχεια να γράψουμε την σχέση απροσδιοριστίας ενέργειας-χρόνου με τη μορφή

και τη σημασία που εκθέσαμε παραπάνω.