Πώς γίνεται ο έλεγχος της αρχής της ισοδυναμίας με τον ζυγό στρέψης;

Συχνές Ερωτήσεις, Οκτώβριος 2005

Τα πειράματα με το ζυγό στρέψης, μετράνε γενικά κάποιο μέγεθος, με την ανίχνευση μιας ροπής σε ένα εκκρεμές που κρέμεται από κάποιο σημείο.

Ο ζυγός στρέψης και τι μετράμε με αυτόν

Τα πειράματα με το ζυγό στρέψης, μετράνε γενικά κάποιο μέγεθος, με την ανίχνευση μιας ροπής σε ένα εκκρεμές που κρέμεται από κάποιο σημείο. Η ροπή δημιουργείται από κάποιο πεδίο που αλληλεπιδρά με ένα δίπολο ή τετράπολο κ.λ.π. Σε μερικά πειράματα με ζυγό στρέψης, χρησιμοποιείται ένα δίπολο αποτελούμενο από διαφορετικής σύστασης μάζες για να ελεγχθεί η εξάρτηση κάποιων δυνάμεων από τη σύσταση της ύλης. Για παράδειγμα, στην παρακάτω εικόνα δείχνεται ένα δίπολο αποτελούμενο από μάζες υποθέματα Cu και Pb.

Το εκκρεμές βρίσκεται μέσα σε ένα ελκτικό πεδίο, και είτε το εκκρεμές είτε το ελκτικό κέντρο περιστρέφεται έτσι ώστε να παράγεται μια ροπή που προκαλεί ταλάντωση του εκκρεμούς. Μια ροπή που προκαλεί ταλάντωση είναι ευκολότερο να ανιχνευτεί σε σχέση με μια στατική ροπή.

Ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό του ζυγού στρέψης είναι ότι δεν επηρεάζεται από μικρές διαφορές στις μάζες ή στους βραχίονες των ροπών του εκκρεμούς. Αν υπάρχουν τέτοιες διαφορές, θα δώσουν μια κλίση στο εκκρεμές έτσι ώστε κάθε ροπή που οφείλεται σε διαφορά μαζών ή διαφορά βραχιόνων της ροπής εξαλείφεται.

Γιατί όμως ένας ζυγός στρέψης δουλεύει τόσο καλά;

Οι ζυγοί στρέψεις έχουν το μοναδικό χαρακτηριστικό να είναι ευαίσθητοι στη γωνία που σχηματίζουν οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται στις κρεμασμένες μάζες. Πιο συγκεκριμένα, αν οι δυνάμεις που ασκούνται στις μάζες υποθέματα είναι παράλληλες, δεν θα υπάρχει συνολική ροπή επί του ζυγού, ακόμα και αν οι δυνάμεις έχουν διαφορετικά μέτρα.

Αυτό εξηγεί γιατί οι ζυγοί στρέψης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνουμε μετρήσεις με ακρίβεια ενός μέρους στα 1013 ακόμα και αν κανένα μέρος του ζυγού από μόνο του δεν έχει τέτοια ακρίβεια.

Για να το καταλάβουμε, ας θεωρήσουμε το απλό εκκρεμές στρέψης στην παραπάνω εικόνα, το οποίο περιλαμβάνει δύο μάζες-υποθέματα κρεμασμένες από έναν αβαρή βραχίονα, ο οποίος με τη σειρά του κρέμεται από ένα λεπτό νήμα. Το διάνυσμα που συνδέει τις δύο μάζες είναι: r=r1- r2.

Η ροπή στο εκκρεμές στρέψης που παράγεται από τις δυνάμεις οι οποίες δρουν στις μάζες-υποθέματα είναι:

T = r1 x F1 + r2 x F2

Το νήμα θα έχει αναγκαστικά τη διεύθυνση της συνισταμένης F1 + F2.

Αλλιώς, η συνισταμένη δύναμη επί του εκκρεμούς δεν θα ήταν μηδέν και αυτό δεν θα βρισκόταν σε ισορροπία. Η συνιστώσα της ροπής που είναι παράλληλη προς το νήμα, είναι εκείνη που προκαλεί τη στροφή του νήματος. Η συνιστώσα αυτή είναι παράλληλη προς το διάνυσμα

(F1 + F2).T = r1 . F1 x (F1 + F2) + r2 . F2 x (F1 + F2).

(F1 + F2).T = r1 . F1 x F2 - r2 . F1 x F2.

Για την εξαγωγή των παραπάνω σχέσεων, χρησιμοποιήθηκαν οι κανόνες για το τριπλό εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Τελικά για το μέτρο της ροπής που προκαλεί τη στροφή, βρίσκουμε:

T = (r . F1 x F2) /(F1 + F2).

Έτσι λοιπόν βλέπουμε ότι η ροπή στρέψης του νήματος εξαρτάται από την γωνία μεταξύ των δύο δυνάμεων. Δεν υπάρχει ροπή, εκτός εάν σχηματίζεται μη μηδενική γωνία μεταξύ των δυνάμεων.

Τα πειράματα λοιπόν με ζυγό στρέψης είναι αρνητικά πειράματα, τα οποία ανιχνεύουν οποιαδήποτε μη παραλληλία των δυνάμεων επί των κρεμασμένων μαζών.

Η Αρχή της ισοδυναμίας στη Σχετικότητα

Όλα τα αντικείμενα πέφτουν κατά τον ίδιο τρόπο με την επίδραση της βαρύτητας. Συνεπώς, τοπικά δεν μπορούμε να διακρίνουμε μεταξύ ενός επιταχυνόμενου συστήματος αναφοράς και ενός μη επιταχυνόμενου. Ας θεωρήσουμε το γνωστό παράδειγμα ενός ανθρώπου μέσα σ ένα ασανσέρ που πέφτει ελεύθερα. Ο άνθρωπος αιωρείται στο μέσον του ασανσέρ που πέφτει μέσα σ ένα πηγάδι.

Τοπικά, δηλαδή κατά τη διάρκεια αρκετά μικρού χρονικού διαστήματος, ή ισοδύναμα σε μια αρκετά μικρή χωρική περιοχή, ο άνθρωπος που πέφτει δεν μπορεί να διακρίνει αν πέφτει ελεύθερα ή αν βρίσκεται σε τελείως άδειο χώρο όπου δεν υπάρχει βαρύτητα.

Θα μπορούσαμε να φανταστούμε δύο μήλα που αιωρούνται δίπλα του. Καθώς το ασανσέρ πέφτει στο πηγάδι, τα μήλα πλησιάζουν μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει γιατί οι τροχιές τους, είναι και των δύο προς το κέντρο της Γης και συγκλίνουν. Αν όμως το πείραμα γίνει τοπικά όπως αναφέραμε παραπάνω, δεν θα μπορούσαμε να αντιληφθούμε αυτή τη σύγκλιση που απαιτεί ικανό χωρικό διάστημα για να εκδηλωθεί. Αυτός είναι ο λόγος που η ισοδυναμία των συστημάτων αναφοράς ισχύει μόνον όταν τα πειράματά μας γίνονται τοπικά.

Η διατύπωση αυτή της αρχής της ισοδυναμίας έχει ένα σημαντικό επακόλουθο. Στην Ειδική Σχετικότητα, - και σε όλη την κλασσική μηχανική έχουμε συνηθίσει στην ιδέα ότι τα διάφορα σώματα κινούνται σε ευθύγραμμες τροχιές με σταθερή ταχύτητα, εκτός αν ενεργεί επ αυτών κάποια δύναμη.

Αν τώρα δεν είμαστε σε θέση να διακρίνουμε τοπικά τη διαφορά μεταξύ της ελεύθερης πτώσης σε βαρυτικό πεδίο και της μετακίνησης με σταθερή ταχύτητα, τότε τοπικά, τα δύο αυτά πράγματα πρέπει να είναι ένα και το αυτό. Οι τροχιές των ελεύθερων σωμάτων ορίζουν αυτό που αποκαλούμε ｫευθείες γραμμέςｻ και συνεπώς αν παρατηρήσουμε ένα αντικείμενο να αποκλίνει από την κίνηση με σταθερή ταχύτητα, αυτό πρέπει να οφείλεται στην καμπύλωση του χωροχρόνου.

Η διατύπωση της αρχής της ισοδυναμίας γίνεται κατά τον εξής τρόπο: Σε οποιοδήποτε τοπικά αδρανειακό σύστημα αναφοράς Lorentz, πρέπει να ισχύουν οι νόμοι της ειδικής σχετικότητας. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι τα μόνα πράγματα τα οποία μπορούν να καθορίσουν τη γεωμετρική δομή του χωροχρόνου είναι οι τροχιές των ελεύθερων σωμάτων.

Η ισχυρή και η ασθενής αρχή ισοδυναμίας

Συχνά κανείς βρίσκει αναφορές στην ｫισχυρήｻ ή την ｫασθενήｻ αρχή της ισοδυναμίας. Η ασθενής αρχή διατυπώνεται με την ισότητα της αδρανειακής και της βαρυτικής μάζας των σωμάτων, καθώς και με την απαίτηση ότι όλοι οι νόμοι της ειδικής σχετικότητας ισχύουν σε κάθε τοπικό σύστημα αναφοράς Lorentz, αρκεί να περιοριστούμε στους νόμους των σωμάτων που πέφτουν ελεύθερα. Η ισχυρή αρχή της ισοδυναμίας ισχύει για όλους τους νόμους της φύσης και λέει ότι ακόμα και η βαρυτική ενέργεια των σωμάτων πρέπει να υπακούει στην αρχή της ισοδυναμίας.

Ο πειραματικός έλεγχος της αρχής της ισοδυναμίας

Για να ελέγξουμε την αρχή της ισοδυναμίας της γενικής σχετικότητας, συγκρίνουμε τον λόγο των βαρυτικών δυνάμεων επί των μαζών που κρέμονται από τον ζυγό στρέψης, με τον λόγο των αδρανειακών φυγόκεντρων δυνάμεων επί των ιδίων μαζών που οφείλονται στην περιστροφή της Γης. Αν οι λόγοι δεν είναι ίσοι, τότε η αδρανειακή φυγόκεντρη δύναμη και η βαρύτητα δεν επιδρούν στην ίδια φυσική ποσότητα των σωμάτων στο ζυγό. Και αφού οι λόγοι των συνιστωσών του ενός διανύσματος δεν είναι ίσοι με τους αντίστοιχους του άλλου διανύσματος, θα υπάρχει μια γωνία μεταξύ των δυνάμεων, την οποία θα πρέπει να δούμε ως ροπή επί του νήματος του ζυγού.

Κάτι τέτοιο βέβαια δεν παρατηρήθηκε στο πείραμα και γι αυτό εξακολουθούμε να δεχόμαστε την ισχύ της ασθενούς τουλάχιστον αρχής της ισοδυναμίας.

Στον πραγματικό τώρα κόσμο τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Σιωπηρά υποθέσαμε ότι το βαρυτικό πεδίο είναι ομογενές. Σε ένα μη ομογενές πεδίο, ακόμα και αν οι μάζες-υποθέματα είναι όμοια, θα υπάρχει μια γωνία μεταξύ των δυνάμεων που ασκούνται στις μάζες. Πρέπει λοιπόν να μεριμνήσουμε ώστε να μην υπάρχουν τοπικά βαθμίδες στο βαρυτικό πεδίο, και πρέπει να κάνουμε το εκκρεμές στρέψης, όσο πιο αναίσθητο γίνεται στις βαθμίδες του βαρυτικού πεδίου.