Γιατί το κύριο ουράνιο τόξο παρατηρείται πάντα σε συγκεκριμένη γωνία πάνω από τον ορίζοντα; 

Συχνές ερωτήσεις, Νοέμβριος 2002

Συχνά λέμε ότι τα χρώματα που παρατηρούμε σ' ένα ουράνιο τόξο οφείλονται στην ανάλυση που παθαίνει το λευκό φως, όταν συναντάει τις σταγόνες της βροχής, οι οποίες αιωρούνται στην ατμόσφαιρα μετά την βροχόπτωση. Γιατί εμφανίζεται όμως πάντα σε μια καθορισμένη γωνία, και πιο συγκεκριμένα στη γωνία των 42 ^ο πάνω από τον ορίζοντα;

Θα προσπαθήσουμε να το εξηγήσουμε ακολουθώντας την πορεία των ηλιακών   ακτίνων καθώς περνούν μέσα από μια σταγόνα, και να αποδείξουμε τη σχέση που δίνει τη γωνία μεταξύ της εισερχόμενης ακτίνας στη σταγόνα και της εξερχόμενης από αυτήν. 

Στο παραπάνω σχήμα, η γωνία A είναι η γωνία πρόσπτωσης, και η γωνία B είναι η γωνία διάθλασης. Αν ονομάσουμε n τον δείκτη διάθλασης του νερού για το συγκεκριμένο χρώμα της ακτίνας, θα έχουμε από τον νόμο του Snell. 

                                           sin(A) = n * sin(B)

Ας μην ξεχνάμε ότι η ακτίνα ενός κύκλου είναι η κάθετος στην επιφάνεια της σφαίρας.Επίσης η ακτίνα της σταγόνας είναι R και το ύψος του σημείου όπου η ακτίνα συναντά τη σφαίρα είναι h. Επειδή η ακτίνα και η οριζόντια διακεκομμένη γραμμή είναι παράλληλες, η γωνία μεταξύ της οριζόντιας διακεκομμένης γραμμής και της ακτίνας είναι επίσης Α. Αυτό όμως σημαίνει ότι στο τρίγωνο που σχηματίζεται από την R,  το h, και την διακεκομμένη γραμμή, ισχύει: sin(A) = h / R. Ας απλοποιήσουμε λίγο τους συμβολισμούς θέτοντας H = h / R. Τότε sin(A) = H.  Προφανώς θα έχουμε ότι 0 < H < 1. 

Στη συνέχεια ας εξετάσουμε την ανάκλαση που συμβαίνει στην πίσω επιφάνεια της σφαίρας. Βέβαια δεν συμβαίνει μόνο ανάκλαση, αλλά ένα μέρος της ακτίνας εξέρχεται από την σταγόνα στην πίσω επιφάνεια. Εμείς όμως ενδιαφερόμαστε μόνο για το μέρος εκείνο του φωτός που παθαίνει ανάκλαση. Το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις δύο ακτίνες της σφαίρας και την ακτίνα του φωτός είναι ισοσκελές τρίγωνο, πράγμα που σημαίνει ότι οι γωνίες της βάσης του (στην πλευρά της ακτίνας του φωτός) είναι ίσες. Σύμφωνα λοιπόν με το νόμο της ανάκλασης, η γωνία πρόσπτωσης στην πίσω πλευρά ισούται με τη γωνία ανάκλασης, κι έτσι το φως θα ανακλαστεί από την πίσω πλευρά επίσης κατά γωνία Β. 

Τέλος εφαρμόζουμε ξανά το νόμο του Snell για τη διάθλαση που παθαίνει η ακτίνα καθώς βγαίνει από την μπροστινή πλευρά της σταγόνας πάλι στον αέρα. Τώρα η γωνία πρόσπτωσης είναι Β, και η γωνία που θα σχηματίζει η εξερχόμενη ακτίνα με την ακτίνα της σφαίρας (γωνία διάθλασης) είναι πάλι Α. 

                                             n * sin(B) = sin(A) (ίδια όπως παραπάνω)

Τελικά, η γωνία που ζητάμε είναι αυτή που σχηματίζεται μεταξύ της αρχικής ακτίνας φωτός που στέλνει ο ήλιος (παριστάνεται πάλι με διακεκομμένη γραμμή στο σημείο εξόδου)  και της εξερχόμενης ακτίνας. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία αυτή αποκαλείται  G.

 Επειδή το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες, βλέπουμε ότι η γωνία της κορυφής και των δύο ισοσκελών τριγώνων είναι (180 - 2*B). Αφού το άθροισμα όλων των γωνιών στο κέντρο του κύκλου είναι 360 μοίρες, προκύπτει η ακόλουθη σχέση:

                                360 = A + (180 -2*B) + (180 - 2*B) + D

                και           D = 4*B - A

Αν παρατηρήσουμε όμως την εξερχόμενη φωτεινή ακτίνα, βλέπουμε ότι υπάρχει ακόμα μια σχέση για τη γωνία D. D = G + A κι έτσι καταλήγουμε τελικά στη σχέση που ζητάμε :

                                 G = D - A                    η

                                 G = 4*B - 2*A

Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση sin(A) = H με τη μορφή : A = sin^-1( H )

και τότε ο νόμος του Snell που γράψαμε παραπάνω παίρνει τη μορφή: n * sin(B) = sin(A) = H

  η                                     B = sin^-1( H / n)

και η γωνία G αποκτά την τελική μορφή : 

                                 G = 4 * sin^-1( H / n) - 2 * sin^-1( H )          Σχέση  (1)

Αν σχεδιάσουμε τη σχέση αυτή για το νερό, όπου ο δείκτης διάθλασης έχει τη μέση τιμή n = 1.333 παίρνουμε με τη βοήθεια του υπολογιστή το παρακάτω γράφημα.

Για να βρούμε με τη βοήθεια της ανάλυσης, για ποια τιμή του Η η καμπύλη αυτή εμφανίζει μέγιστο, καθώς και την τιμή αυτού του μεγίστου, θα έπρεπε να μηδενίσουμε την πρώτη παράγωγο της τελικής μας σχέσης (1). Θα βρίσκαμε τότε ότι η τιμή του Η που καθιστά μέγιστη την G είναι : H = ( (4 - n²) / 3 )^1/2

Και ως εκ τούτου, η μέγιστη τιμή του G θα είναι : 

                  G = 4 * sin^-1( ( (4 - n²) / 3 )^1/2 / n) - 2 * sin^-1( ( (4 - n²) / 3 )^1/2 )

 Χρησιμοποιώντας την τιμή του n για το νερό 1,333 παίρνουμε :

                                               H = 0.8608

                                               G = 42.0 degrees

Το ίδιο πάντως συμπέρασμα προκύπτει πιο εύκολα από την εξέταση του παραπάνω γραφήματος. Τώρα καταλαβαίνουμε γιατί προκειμένου να δούμε το ουράνιο τόξο πρέπει να στεκόμαστε με την πλάτη προς τον ήλιο και να κοιτάζουμε προς τα επάνω σε γωνία 42^ο. Επίσης παρατηρούμε ότι αυτό το μέγιστο της συνάρτησης G(H), σημαίνει ότι όλο το φως που εισέρχεται στη σταγόνα κοντά σ' αυτό το ύψος, και εξέρχεται από την μπροστινή επιφάνειά της, βγαίνει σχεδόν με την ίδια γωνία, κι έτσι σ' αυτή την κατεύθυνση βλέπουμε περισσότερο φως από οποιαδήποτε άλλη κατεύθυνση.