Μαθηματικά: Η μόνη πραγματική παγκόσμια γλώσσα

Άρθρο, Φεβρουάριος 2009

Αν ερχόμαστε ποτέ σε επαφή με ευφυείς εξωγήινους που ζούσαν σε ένα πλανήτη γύρω από ένα μακρινό αστέρι, θα περιμέναμε να υπάρχουν κάποια προβλήματα επικοινωνίας μαζί τους. Επειδή θα είμαστε πολλά έτη φωτός μακριά, τα σήματα μας θα χρειάζονται πολλά χρόνια για να φτάσουν εκεί πάνω, κι έτσι δεν θα υπήρχε περιθώριο για έντονη κουβέντα μαζί τους. Θα μπορούσε να υπάρχει ανάμεσα μας ένα χάσμα IQ ενώ οι εξωγήινοι ενδέχεται να έχουν δημιουργηθεί από μια εντελώς διαφορετική χημεία.

Ωστόσο, θα υπήρχε και πολύ κοινό έδαφος μεταξύ μας. Θα είναι φτιαγμένοι από παρόμοια άτομα όπως εμείς. Θα ήξεραν να εντοπίζουν τις ρίζες τους πίσω στο big bang,  κάπου 13,7 δισεκατομμύρια χρόνια πριν, ενώ θα μοιραστούν μαζί με μας το μέλλον του σύμπαντος. Ωστόσο, η πιο σίγουρη κοινή κουλτούρα θα ήταν τα μαθηματικά.

Τα μαθηματικά ήταν η γλώσσα της επιστήμης για χιλιάδες χρόνια, και είναι εξαιρετικά επιτυχημένη. Σε ένα φημισμένο δοκίμιο, ο μεγάλος φυσικός Eugene Wigner έγραψε για την "παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών". Οι περισσότεροι από εμάς μένουν αμήχανοι με την αινιγματική φράση που εξέφρασε ο Wigner, καθώς επίσης και με τον Αϊνστάιν με το ρητό του ότι «το πιο ακατανόητο πράγμα σχετικά με το σύμπαν είναι το ότι είναι κατανοητό". Θαυμάζουμε το γεγονός ότι το σύμπαν δεν είναι άναρχο - πως τα άτομα υπακούουν στους ίδιους νόμους στον μακρινό γαλαξία όπως και στο εργαστήριο. Οι εξωγήινοι θα έμεναν έκπληκτοι, όπως και εμείς, από τα μοντέλα στο κοινό μας σύμπαν και από την αποτελεσματικότητα των μαθηματικών για την περιγραφή αυτών των φαινομένων.

Μπορούν δε τα μαθηματικά να δείξουν και τον δρόμο προς νέες ανακαλύψεις στη φυσική. Ο γνωστός βρετανός θεωρητικός Paul Dirac χρησιμοποίησε  καθαρά μαθηματικά για να διατυπώσει μια εξίσωση που οδήγησε στην ιδέα της αντιύλη αρκετά χρόνια προτού αναγνωριστεί το πρώτο αντισωματίδιο το 1932. Οι φυσικοί κρατούν την τύχη στα χέρια τους με τα μαθηματικά, καθώς αποσκοπούν να εξετάσουν ακόμη βαθύτερα επίπεδα της δομής του Σύμπαντος; Υπάρχουν όρια που καθορίζονται από την εγγενή ικανότητα του μυαλού μας; Μπορούν οι υπολογιστές να προσφέρουν γνώσεις και όχι απλώς να επεξεργάζονται αριθμούς; Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα που με απασχολούν.

Τα προηγούμενα γεγονότα στον χώρο της φυσικής είναι ενθαρρυντικά. Οι δύο μεγάλες ανακαλύψεις στη φυσική του 20ου αιώνα οφείλονται σε αρκετό βαθμό στα μαθηματικά. Η πρώτη ήταν η διατύπωση της κβαντικής θεωρίας τη δεκαετία του 1920, ο δε Dirac ήταν ένας από τους μεγάλους πρωτοπόρους της. Η θεωρία μας λέει ότι, για την ατομική κλίμακα, η φύση είναι εγγενώς ασαφής. Ωστόσο, τα άτομα συμπεριφέρονται με συγκεκριμένους μαθηματικούς τρόπους όταν εκπέμπουν και όταν απορροφούν το φως, ή συνδέονται μαζί για να κάνουν τα μόρια.

Η άλλη ανακάλυψη ήταν η γενική σχετικότητα του Αϊνστάιν. Πάνω από 200 χρόνια πριν, ο Ισαάκ Νεύτων έδειξε ότι η δύναμη που κάνει τα μήλα να πέφτουν είναι ίδια με την βαρύτητα που κρατά τους πλανήτες σε τροχιές. Τα μαθηματικά του Νεύτωνα ήταν αρκετά καλά ώστε να πετάξουν τα διαστημόπλοια στο διάστημα και να κατευθυνθούν κοντά σε πλανήτες, αλλά ο Αϊνστάιν υπερέβαλε το Νεύτωνα. Η γενική θεωρία της σχετικότητας θα μπορούσε να αντιμετωπίσει τις πολύ υψηλές ταχύτητες και την ισχυρή βαρύτητα, προσφέρουν βαθύτερη γνώση της βαρύτητας της φύσης.

Ωστόσο, παρά τις βαθιές γνώσεις της φυσικής, ο Αϊνστάιν δεν ήταν κορυφή στα μαθηματικά. Η αναγκαία γλώσσα για τη μεγάλη εννοιολογική πρωτοπορία της φυσικής του 20ού αιώνα υπήρχε ήδη και ο Αϊνστάιν ήταν τυχερός που οι γεωμετρικές έννοιες που χρειαζόταν είχαν ήδη αναπτυχθεί από τον γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann έναν αιώνα νωρίτερα. Η σε ομάδα των νέων θεωρητικών υπό την ηγεσία του Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg και Dirac ήταν εξίσου τυχεροί που μπορούσαν να εφαρμόσουν έτοιμα μαθηματικά.

Οι αντίστοιχοι φυσικοί του 21ου αιώνα - όσοι δηλαδή επιδιώκουν να ταιριάξουν τη γενική σχετικότητα και την κβαντική μηχανική σε μια ενοποιημένη θεωρία - δεν είναι τόσο τυχεροί. Μια ενοποιημένη θεωρία βρίσκεται σε εκκρεμότητα ακόμα για την επιστήμη.

Οι πιο δημοφιλείς θεωρίες πιστεύουν ότι τα σωματίδια που απαρτίζουν τα άτομα αποτελούνται από μικροσκοπικούς βρόχους, ή χορδές, που δονούνται σε ένα χώρο με 10 ή 11 διαστάσεις. Αυτή η θεωρία χορδών συνεπάγεται ισχυρά πολύπλοκα μαθηματικά που βεβαίως δεν μπορούν να βρεθούν στο ράφι, και οι προκλήσεις που θέτει η νέα θεωρία είναι ένα κίνητρο για τους μαθηματικούς. Ο Ed Witten, ένας γνωστός διανοητικός ηγέτης της θεωρίας χορδών, κατατάσσεται ως ένας παγκόσμιας κλάσης μαθηματικός, αλλά και πολλοί άλλοι μαθηματικοί προσελκύονται από αυτή την πρόκληση.

Η θεωρία χορδών δεν είναι η μόνη προσέγγιση για μια ενοποιημένη θεωρία, αλλά είναι αυτή που έχει μελετηθεί περισσότερο. Η προσπάθεια είναι σίγουρα καλή για τα μαθηματικά, αλλά υπάρχει μια διαμάχη σχετικά με το πόσο καλή είναι για την φυσική. Υπάρχουν επιχειρήματα για το αν η θεωρία χορδών είναι σωστή, για το αν θα υποστηρίζεται από το πείραμα, αλλά ακόμη για το αν υπάρχει η φυσική εκεί μέσα. Υπάρχουν δε γραφεί πολλά βιβλία για το θέμα αυτό με εμπορική επιτυχία.

Για μένα, η κριτική της θεωρίας χορδών ως διανοητικό επιχείρημα φαίνεται να είναι φτωχή. Είναι αλαζονικό να κάνεις κριτική της απόφασης της αφρόκρεμας του επιστημονικού κόσμου, που επιλέγουν να αφιερώσουν την ερευνητική σταδιοδρομία τους σε αυτή της θεωρία. Ωστόσο, θα πρέπει να ανησυχούμε για την υπερβολική συγκέντρωση των ταλέντων σε αυτό τον τομέα.

Η ανακάλυψη μιας ενοποιημένης θεωρίας θα είναι η ολοκλήρωση ενός προγράμματος που ξεκίνησε με το Νεύτωνα. Η θεωρία χορδών, αν είναι σωστή, θα κερδίσει το όραμα του Αϊνστάιν και του Αμερικανού φυσικού John Wheeler ότι ο κόσμος είναι ουσιαστικά μια γεωμετρική δομή.

Υπάρχει βέβαια και η ενδιαφέρουσα πιθανότητα, που πιστεύω πως δεν θα πρέπει να απορριφθεί, ότι υπάρχει η "αληθινή" θεμελιώδης θεωρία, που απλά μπορεί να είναι πολύ δύσκολο για να συλληφθεί από τον ανθρώπινο νου. Ένα ψάρι μόλις και μετά βίας μπορεί να γνωρίζει το μέσο μέσα στο οποίο ζει και κολυμπά. Σίγουρα δεν έχει την πνευματική ισχύ να κατανοήσει ότι το νερό αποτελείται από αλληλένδετα άτομα του υδρογόνου και του οξυγόνου. Η μικροδομή του κενού χώρου θα μπορούσε, επίσης, να είναι πάρα πολύ πολύπλοκη για να συλληφθεί από τον ανθρώπινο νου χωρίς βοήθεια.

H θεωρία χορδών συνεπάγεται κλίμακες ένα δισεκατομμύριο δισεκατομμύρια φορές μικρότερες από ό,τι μπορούμε άμεσα να εξετάσουμε. Στο άλλο άκρο, οι κοσμολογικές θεωρίες μας δείχνουν ότι το σύμπαν είναι πολύ πιο εκτεταμένο από ό,τι μπορούμε να παρατηρήσουμε με τα τηλεσκόπια. Μπορεί ακόμα και να είναι άπειρο. Ο χώρος που οι αστρονόμοι αποκαλούν το "σύμπαν" - το διάστημα που εκτείνεται περισσότερο από 10 δισεκατομμύρια έτη φωτός γύρω μας και που περιέχει δισεκατομμύρια γαλαξίες, ο καθένας με δισεκατομμύρια αστέρια, δισεκατομμύρια πλανήτες (και ίσως και δισεκατομμύρια βιόσφαιρες) - θα μπορούσε να αποτελεί απειροελάχιστο μέρος ενός υπερ-σύμπαντος.

Υπάρχει ένας σαφής χρονικός ορίζοντας για τις άμεσες παρατηρήσεις μας στον ουρανό: ένα σφαιρικό κέλυφος γύρω μας, έτσι ώστε πέρα από αυτό το φως δεν είχε ποτέ χρόνο για να φτάσει μετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Ωστόσο, δεν υπάρχει τίποτα φυσικό σχετικά με αυτό τον ορίζοντα. Αν είστε στη μέση του ωκεανού, είναι αντιληπτό ότι το νερό τελειώνει λίγο μετά τον ορίζοντα πέρα από σας. Επίσης, υπάρχουν λόγοι για να υποψιαζόμαστε ότι το σύμπαν μας - απόηχος της Μεγάλης Έκρηξης - εκτείνεται πολύ περισσότερο από ό,τι μπορούμε να δούμε.

Και δεν τελειώνουμε εδώ: η Μεγάλη Έκρηξη δεν μπορεί να είναι η μόνη. Μια ιδέα που ονομάζεται αιώνιος πληθωρισμός και έχει αναπτυχθεί σε μεγάλο βαθμό από τον Andrei Linde στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, προβλέπει να αναδύονται ατέλειωτα big bangs, σε ένα διαρκώς διευρυνόμενο υπόστρωμα. Ή θα μπορούσε να υπάρχουν άλλοι χωρόχρονοι, παράλληλοι με τον δικό μας - όλοι τους ενσωματωμένοι σε ένα υψηλότερων διαστάσεων χώρο. Ο δικός μας θα μπορούσε να είναι ένα σύμπαν μέσα στο πολυσύμπαν.

Τότε θα έχουν σημασία άλλοι κλάδοι των μαθηματικών. Χρειαζόμαστε μια αυστηρή γλώσσα για να περιγράψει τον αριθμό των πιθανών καταστάσεων που θα μπορούσε να διαθέτει ένα σύμπαν και να συγκρίνει την πιθανότητα διαφορετικών συνθέσεων. Επίσης, απαιτείται μια σαφέστερη αντίληψη του ίδιου του άπειρου.

Το πολυσύμπαν μας αναγκάζει να το αντιμετωπίσουμε με άπειρα, πολλαπλασιασμένα με άλλες άπειρα - ίσως και συνεχώς. Για να αντιμετωπίσουμε αυτές τις έννοιες, πρέπει να αναπτύξουμε ειδικά μαθηματικά των άπειρων αριθμών, τα οποία χρονολογούνται από τον Georg Cantor τον 19ο αιώνα. Ο Georg Cantor έδειξε ότι υπάρχει ένα αυστηρός τρόπος για να συζητήσουμε το άπειρο και ότι, σε μια καλά καθορισμένη ιδέα υπάρχει άπειρο πλήθος διαφόρων μεγεθών. Με αυτές τις εξωτικές ιδέες, οι κοσμολόγοι δεν θα είναι σε θέση να εδραιώσουν την ιδέα του πολυσύμπαντος και να αποφασίσουν, χωρίς παράδοξα ή ασάφειες, τι είναι πιθανό και τι είναι απίθανο μέσα σε αυτό.

Σε πιο βαθύ επίπεδο, η φυσική πραγματικότητα μπορεί να έχει μια γεωμετρική περιπλοκότητα που θα ικανοποιεί κάθε ευφυή ον στη Γη ή πέραν αυτής. Υπό την προϋπόθεση ότι εμείς θα μπορούσαμε να την καταλάβουμε, μια ενοποιημένη θεωρία που θα το αποκαλύψει θα είναι ένας πνευματικός θρίαμβος. Η "θεωρία των όλων", όπως ονομάζεται ωστόσο, είναι υβριστική και παραπλανητική, δεδομένου ότι δεν θα μπορέσει να προσφέρει καμιά βοήθεια στο 99 τοις εκατό των επιστημόνων. Η Χημεία και η Βιολογία δεν αναπτύχθηκαν ακόμα και μη γνωρίζοντας τι συνέβαινε επακριβώς στον πυρήνα; Ακόμη λιγότεροι είναι αυτοί που εξαρτώνται από την δομή του χωρόχρονου. Η θεωρία χορδών θα μπορούσε να ενοποιήσει τα δύο μεγάλα επιστημονικά σύνορα, το πολύ μεγάλο και το πολύ μικρό, αλλά υπάρχει ένα τρίτο σύνορο - και το πολύ περίπλοκο. Αυτό είναι ίσως το πιο δύσκολο απ 'όλα, και είναι το σύνορο για τα οποίο εργάζονται οι περισσότεροι επιστήμονες.

Υπάρχουν, ωστόσο, λόγοι να ελπίζουμε ότι θα μπορούσαν να διέπουν απλοί κανόνες κάποια φαινομενικά πολύπλοκο φαινόμενα. Αυτό έγινε γνωστό το 1970 από τον μαθηματικό John Conway, που ανακάλυψε το "παιχνίδι της ζωής". Ο Conway ήθελε να επινοήσει ένα παιχνίδι που θα ξεκινούσε με ένα απλό μοντέλο και με την χρήση βασικών κανόνων με σκοπό να εξελίσσεται ξανά και ξανά. Άρχισε λοιπόν να πειραματίζεται με τα μαύρα και άσπρα τετράγωνα σε ένα πίνακα και ανακάλυψε ότι με την προσαρμογή των απλών κανόνων του παιχνιδιού, που καθορίζει πότε ένα τετράγωνο γίνεται μαύρο από άσπρο και αντιστρόφως, καθώς και των μοντέλων έναρξης, ορισμένες ρυθμίσεις παράγουν απίστευτα πολύπλοκο αποτελέσματα φαινομενικά από το πουθενά. Μπορούν όμως να εμφανιστούν ορισμένα μοντέλα που φαίνεται να έχουν μια ζωή σαν την δική μας καθώς κινούνται γύρω.

Ο πραγματικός κόσμος είναι παρόμοιος: απλοί κανόνες επιτρέπουν περίπλοκες συνέπειες. Ενώ ο Conway χρειάζεται μόνο ένα μολύβι και χαρτί για να σχεδιάσει το παιχνίδι του, θέλει έναν υπολογιστή για να διερευνήσει πλήρως το φάσμα της πολυπλοκότητας που ενυπάρχει σε αυτό.

Προσομοιώσεις σε υπολογιστές έχουν δώσει τεράστια ώθηση στην επιστήμη. Και δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο οι υπολογιστές δεν μπορούν πράγματι να κάνουν ανακαλύψεις, αν και με τον δικό τους ξεχωριστό τρόπο. Ο υπολογιστής Deep Blue της IBM που παίζει σκάκι δεν υπολόγιζε τη στρατηγική του σαν ένα ανθρώπινο μυαλό. Αντίθετα, επωφελήθηκε από την υπολογιστική ταχύτητα για να διερευνήσει εναλλακτικές εκατομμύρια σειρές από κινήσεις και αντιδράσεις πριν αποφασίσει την βέλτιστη κίνηση του. Αυτή η πνευματική προσέγγιση υπερισχύει κι ένα παγκόσμιο πρωταθλητή.

Η ίδια προσέγγιση θα μπορούσε να αξιοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων που μας έχουν μέχρι τώρα διαφύγει. Για παράδειγμα, οι επιστήμονες σήμερα αναζητούν νέους υπεραγωγούς που, αντί να απαιτούν χαμηλές θερμοκρασίες για να άγουν το ηλεκτρικό ρεύμα, όπως κάνουμε τώρα, θα δουλεύουν σε συνήθη θερμοκρασία δωματίου. Οι σημερινές έρευνες κάνουν πολλές δοκιμές και σφάλματα, διότι κανείς δεν καταλαβαίνει τι ακριβώς κάνει την ηλεκτρική αντίσταση να εξαφανίζεται πιο εύκολα σε κάποια υλικά από ό,τι σε άλλα. Ας υποθέσουμε ότι μια μηχανή κατέληξε σε μία συνταγή για ένα τέτοιο υπεραγωγό. Παρόλο που μπορεί να το έχει καταφέρει με τον ίδιο τρόπο που ο Deep Blue νίκησε το Ρώσο πρωταθλητή του σκακιού Garry Kasparov, και όχι λόγω μιας θεωρίας ή στρατηγικής, θα έχει πετύχει κάτι που να αξίζει το βραβείο Nobel.

Προσομοιώσεις που χρησιμοποιούν όλο και πιο ισχυρούς υπολογιστές θα βοηθήσουν, κατά παρόμοιο τρόπο, τους επιστήμονες να κατανοήσουν διαδικασίες που είτε έχουμε μελετήσει σε εργαστήρια είτε δεν παρατηρούμε άμεσα. Στην αστρονομία, οι ερευνητές μπορούν να έχουν ήδη δημιουργήσει ένα εικονικό σύμπαν σε έναν υπολογιστή και να εκτελέσουν πειράματα σε αυτό, όπως για παράδειγμα ο υπολογισμός της γέννησης και του θανάτου των άστρων.

Κάποια μέρα, ίσως, άλλοι θα τις χρησιμοποιούν για την προσομοίωση πολλών χημικών διεργασιών, συμπεριλαμβανομένης και της πολυπλοκότητας μέσα στα κύτταρα, το πώς συνδυάζονται τα γονίδια που κωδικοποιούν τη λεπτή χημεία του κυττάρου, καθώς και τη μορφολογία των άκρων και των οφθαλμών. Ίσως να είναι σε θέση να προσομοιώνουν τις συνθήκες που οδήγησαν στην πρώτη ζωή, ή και άλλες μορφές ζωής που θα μπορούσαν, κατ 'αρχήν, να υπάρχουν.

Ωστόσο υπάρχει πολύς δρόμος για να διανύσουμε πριν επιτευχθεί μια πραγματική νοήμων μηχανή. Ένας ισχυρός υπολογιστής μπορεί να είναι παγκόσμιος πρωταθλητής σκακιού, αλλά ακόμα και τα πιο προηγμένα ρομπότ δεν μπορεί να αναγνωρίσουν και να κινήσουν τα κομμάτια σε μια πραγματική σκακιέρα, συμπεριφερόμενα σαν ένα πεντάχρονο παιδί.

Ίσως στο μακρινό μέλλον η μετά-ανθρώπινη νοημοσύνη να αναπτύξει υπερ-κομπιούτερ με μια επεξεργαστική ισχύ κατάλληλη για την προσομοίωση της ζωής - ακόμη και ολόκληρου του κόσμου. Ίσως θα μπορούσε να προχωρήσει ακόμη στην προσομοίωση ενός "σύμπαντος", το οποίο θα ξεπερνά κατά πολύ τα απλά μοντέλα της ντάμας και των ειδικών εφέ σε ταινίες. Το προσομοιούμενο σύμπαν θα μπορούσε να είναι τόσο σύνθετο όπως αυτό που αντιλαμβανόμαστε ότι ζούμε μέσα του. Αυτό βέβαια μας δημιουργεί μια ανησυχητική σκέψη: ίσως αυτό να είναι και το πραγματικό σύμπαν.

Είναι συναρπαστικό να σκεφτόμαστε αν ήδη υφίστανται υπερ-ευφυή εξωγήινοι σε ορισμένα απομακρυσμένο μέρη του Σύμπαντος. Αν υπάρχουν, οι εγκέφαλοι τους θα κατανοούν την πραγματικότητα με μια μαθηματική γλώσσα που θα μπορούσε να είναι κατανοητή για εμάς ή τους απογόνους μας;

Άρθρο του Martin Rees στο New Scientist