physics4u - Ο περιστρεφόμενος δίσκος του Einstein

Ο περιστρεφόμενος δίσκος του Einstein

Άρθρο, Αύγουστος 2005

Στο παρόν άρθρο θα αναλύσουμε το νοητικό πείραμα που πρότεινε ο Albert Einstein για να αποδείξει ότι μια μάζα που δημιουργεί ένα πεδίο βαρύτητας γύρω της, προκαλεί συγχρόνως και μια στρέβλωση του χώρου γύρω από αυτήν. Συγχρόνως όμως θα αναφερθούμε και στις παγίδες που κρύβει συχνά η επίκληση τέτοιων νοητικών πειραμάτων.

Το μεγάλο διανοητικό άλμα που έκανε ο Einstein κατά τη σύλληψη της βασικής ιδέας της Γενικής Σχετικότητας ήταν ότι σκέφτηκε να θεωρήσει ως απολύτως ισοδύναμες για ένα παρατηρητή, τις εξής καταστάσεις: Αν ο παρατηρητής βρίσκεται μέσα σε ένα θάλαμο που επιταχύνεται προς τα επάνω από την επιφάνεια της Γης η δύναμη που θα αισθανθεί στα πόδια του από το πάτωμα του θαλάμου είναι ακριβώς η ίδια με αυτή που θα αισθανθεί στα πόδια του από το πάτωμα του ιδίου θαλάμου, όταν αυτός δεν έχει καμιά επιτάχυνση αλλά βρίσκεται ακίνητος μέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Αρκεί βέβαια η τιμή της επιτάχυνσης στο πρώτο πείραμα να είναι προσεκτικά επιλεγμένη.
Ο Einstein αποκάλεσε την αδυναμία διάκρισης μεταξύ επιταχυνόμενης κίνησης και βαρύτητας, αρχή της ισοδυναμίας. Αυτή η αρχή παίζει σημαντικό ρόλο στη γενική θεωρία της σχετικότητας.

Στη συνέχεια, σε μια αποφασιστική στιγμή κατά την πορεία του προς την ανακάλυψη της Γενικής Σχετικότητας, κάπου στα 1912, ο Einstein κατάλαβε ότι η γεωμετρία του χώρου όπως την αντιλαμβάνεται ένας επιταχυνόμενος παρατηρητής μπορεί να μην είναι πια Ευκλείδια. Για να το δείξει αυτό χρησιμοποίησε το νοητό πείραμα ενός παρατηρητή πάνω σε ένα περιστρεφόμενο δίσκο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, και ανέλυσε την περίπτωση αυτή χρησιμοποιώντας τα πορίσματα της Ειδικής Σχετικότητας.

Ας υποθέσουμε ότι ο δίσκος έχει στην περιφέρειά του ένα τοίχωμα. Τότε ένας παρατηρητής που βρίσκεται στην περιφέρεια με την πλάτη του στηριγμένη στο τοίχωμα θα αντιληφθεί να ασκείται στην πλάτη του μια δύναμη προς το κέντρο του κύκλου, καθώς ο δίσκος περιστρέφεται. Η δύναμη αυτή είναι η γνωστή μας κεντρομόλος δύναμη, από την κλασσική φυσική και η επιτάχυνση που αντιστοιχεί στη δύναμη αυτή λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση.
Σύμφωνα λοιπόν με την αρχή της ισοδυναμίας που αναφέρθηκε παραπάνω, η δύναμη που δέχεται ο παρατηρητής από το περιφερειακό τοίχωμα του περιστρεφόμενου δίσκου είναι απόλυτα ισοδύναμη σαν να βρισκόταν ο παρατηρητής μας ακίνητος μέσα σε κάποιο βαρυτικό πεδίο. Η γεωμετρία λοιπόν που βλέπει ο παρατηρητής μας να ισχύει επί του περιστρεφόμενου δίσκου, είναι η ίδια με αυτήν που θα έβλεπε να ισχύει αν βρισκόταν ακίνητος μέσα σε πεδίο βαρύτητας.

Στην ανάλυση που ακολουθεί, θεωρούνται γνωστά τα παρακάτω δύο συμπεράσματα της ειδικής σχετικότητας.

1. Ένας παρατηρητής Α βλέπει ένα επίμηκες αντικείμενο που κινείται κατά την διεύθυνση του μήκους του, να έχει μικρότερο μήκος από αυτό που βλέπει για το ίδιο αντικείμενο ένας άλλος παρατηρητής Β, ευρισκόμενος επί του κινουμένου αντικειμένου.

2. Αν η κίνηση του αντικειμένου συμβαίνει κάθετα προς το μήκος του, τότε και οι δύο παρατηρητές αντιλαμβάνονται το ίδιο μήκος.

3. Ένας παρατηρητής Α βλέπει το ρολόι ενός άλλου παρατηρητή Β, κινούμενου ως προς τον Α , να πηγαίνει
πιο αργά από το δικό του.

Ο Einstein φαντάστηκε ότι η γεωμετρία της επιφάνειας του δίσκου διερευνάται από τον παρατηρητή με τη συνηθισμένη μέθοδο που είχε χρησιμοποιήσει και στην ειδική σχετικότητα, δηλαδή με τη χρήση ενός χάρακα με τον οποίο μετράει την περιφέρεια του δίσκου. Ας φανταστούμε πρώτα ότι ο δίσκος είναι ακίνητος και δεν περιστρέφεται.

Αν η διάμετρος του δίσκου είναι D και το μήκος της περιφέρειας είναι C όπως μετρoύνται με τον χάρακα, τότε βρίσκει ότι ισχύει η σχέση C=π · D και αυτό σημαίνει πως ισχύει η συνηθισμένη Ευκλείδια γεωμετρία.

Ας φανταστούμε τώρα ότι ο δίσκος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Τι θα μετρήσουμε τώρα ως μήκος περιφέρειας του δίσκου C; Θα ισχύει τώρα η σχέση C = π · D;

Τα μήκη των ράβδων με τις οποίες πραγματοποιούμε τώρα τις μετρήσεις μας κατά μήκος της ακτίνας του δίσκου, δεν επηρεάζονται από τη συστολή Lorentz της ειδικής σχετικότητας, επειδή η κίνησή τους είναι κάθετη προς το μήκος τους.

Αλλά οι ράβδοι που βάζουμε εφαπτομενικά κατά μήκος της περιφέρειας για να μετρήσουμε το μήκος τους, κινούνται στην διεύθυνση του μήκους τους και ως εκ τούτου θα υποστούν συστολή. Έτσι θα χρειάζονται τώρα πιο πολλές ράβδοι για να καλύψουν την περιφέρεια απ' όσες αναμέναμε με την Ευκλείδια άποψη. Έτσι τώρα για το μετρούμενο μήκος της περιφέρειας θα ισχύει C > π · D

Το σχόλιο που παραθέσαμε και το εξαχθέν συμπέρασμα ανήκει στον Einstein και μας λέει ότι επί του περιστρεφόμενου δίσκου ισχύει μη Ευκλείδια γεωμετρία.

Θα μπορούσε κάποιος με κατάλληλο χειρισμό του ίδιου νοητικού πειράματος να καταλήξει στο αντίθετο συμπέρασμα. Ότι δηλαδή για την περιφέρεια του δίσκου ισχύει η ανισότητα: C < π · D.

Το παρακάτω σχόλιο μάλιστα προτάθηκε από τον Joseph Petzold σε ένα γράμμα του προς τον Einstein το 1919. Σύμφωνα με την ανάλυση του Petzold, ο δίσκος θεωρείται ως ένα σύνολο ομόκεντρων δακτυλίων που περιστρέφονται. Όπως και παραπάνω οι δακτύλιοι δεν συστέλλονταικατά Lorentz κατά την ακτινική διεύθυνση, επειδή δεν έχουν ταχύτητα κατά την ακτινική διεύθυνση. Έτσι η διάμετρος του δίσκου δεν επηρεάζεται. Οι δακτύλιοι όμως συστέλλονται κατά την περιφέρειά τους αφού η κίνησή τους κατά την περιστροφή γίνεται με ταχύτητα εφαπτομενική της περιφέρειας. Έτσι το μήκος της περιφέρειάς τους εμφανίζεται μικρότερο από το μήκος που θα είχαν αν ήταν ακίνητοι.

Έτσι λοιπόν το μήκος της περιφέρειας τώρα ικανοποιεί τη σχέση C < π · D.

Μια άλλη προσέγγιση του ιδίου νοητικού πειράματος που προτάθηκε από τον Ehrenfest το 1910 και τον Varicak το 1911, φαίνεται να καταλήγει στο Ευκλείδιο αποτέλεσμα. Οι θέσεις που έχουμε βάλει τους χάρακες πάνω στον περιστρεφόμενο δίσκο, μεταφέρονται κάποια στιγμή σε ένα διαφανές χαρτί το οποίο όμως δεν περιστρέφεται μαζί με τον δίσκο. Ανασυνθέτουμε στη συνέχεια επίτου χαρτού όλα τα γεωμετρικά σχήματα που είχαμε και στο δίσκο. Το αποτέλεσμα - όπως σχολίασε ο varicak - θα ήταν να πάρουμε Ευκλείδια σχήματα, διότι η επιφάνεια του μη περιστρεφόμενου χαρτιού ακολουθεί την απλά την Ευκλείδια γεωμετρία. Έτσι θα ισχύει:
C = π · D.

Από τις παραπάνω προσεγγίσεις, σωστή είναι η αποδιδόμενη στον Einstein, αλλά δεν είναι και τόσο απλό να βρούμε αμέσως που γίνεται λάθος στα άλλα δύο σκεπτικά.
Θα ήταν ευπρόσδεκτη μια συζήτηση πάνω στο θέμα αυτό στο χώρο του forum της ιστοσελίδας μας.

Αποδεικνύεται επίσης ότι η προσπάθεια να αποδείξουμε κάτι στη φυσική με τη μέθοδο των αντιστοιχίσεων με άλλες καταστάσεις και καταφεύγοντας στη χρήση νοητικών πειραμάτων, χρειάζεται μεγάλη προσοχή. Οι ισχυρότερες και πλέον αναντίρρητες αποδείξεις είναι αυτές που δίνονται μέσω των βασικών εξισώσεων πάνω στις οποίες στηρίζονται τα θεμέλια μιας θεωρίας.

Δείτε και τα σχετικά άρθρα