|
Όλα τα αντικείμενα γύρω μας είναι σύνολα από σωματίδια που κινούνται
μέσα σε μια 3-διάστατη πολλαπλότητα, την οποία ονομάζουμε 3-διάστατο χώρο,
και η οποία εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις για πολλά δισεκατομμύρια
έτη φωτός. Οι πολλαπλότητες είναι μαθηματικές κατασκευές και τα μαθηματικά
των πολλαπλοτήτων μας δίνουν την δυνατότητα να περιγράψουμε καθετί που συμβαίνει
μέσα στο χώρο που αντιλαμβανόμαστε.
Υπάρχει βέβαια και η νεώτερη θεωρία των χορδών, η οποία εικάζει
την ύπαρξη και άλλων διαστάσεων πέρα των 3 που όμως δεν γίνονται άμεσα αντιληπτές.
Τρεις διαστάσεις σημαίνει ότι χρειάζονται 3 μόνον αριθμοί για
να περιγράψουμε τη θέση ενός σωματιδίου.
Σύμφωνα με τη Νευτώνεια φυσική και την παραδοσιακή κβαντομηχανική, ο 3-διάστατος
χώρος είναι σταθερός και αμετάβλητος. Η γενική σχετικότητα όμως του Einstein,
αποδίδει στο χώρο μια μεταβλητότητα. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων εξαρτάται
από το πόση ύλη και ενέργεια βρίσκονται κοντά, και από το αν περνάνε από εκεί
βαρυτικά κύματα. Άχετα όμως από αυτό, εξακολουθεί ο χώρος να περιγράφεται
ως μια 3-διάστατη πολλαπλότητα. Γι αυτό η κατανόηση των 3-διάστατων πολλαπλοτήτων
είναι σημαντική. Σημαντικές είναι επίσης και οι 4-πολλαπλότητες, μιας και
ο χώρος μαζί με το χρόνο αποτελούν μια 4-πολλαπλότητα. Ο κλάδος των μαθηματικών
που μελετάει τις πολλαπλότητες λέγεται τοπολογία. τρεις από τις θεμελιώδεις
ερωτήσεις που θέτουν οι τοπολόγοι είναι και οι εξής: Ποια είναι η απλούστερη
3-πολλαπλότητα, δηλαδή εκείνη με λιγότερο περίπλοκη δομή; Υπάρχουν και άλλα
ξαδέλφια αυτής της πολλαπλότητας που είναι εξίσου απλά, ή είναι μοναδική;
Ποια είδη 3-πολλαπλοτήτων υπάρχουν;
Η απάντηση στην πρώτη ερώτηση είναι γνωστή από παλιά. Ένας χώρος που ονομάζεται
3-σφαίρα είναι η απλούστερη συμπαγής 3-πολλαπλότητα που υπάρχει. (Τις μη συμπαγείς
πολλαπλότητες μπορούμε να τις φανταστούμε είτε ως άπειρες, είτε ότι έχουν
άκρα.) Στο υπόλοιπο του άρθρου εξετάζουμε μόνο τις συμπαγείς πολλαπλότητες.
Οι άλλες δύο ερωτήσεις έμειναν αναπάντητες περισσότερο από έναν αιώνα, και
απαντήθηκαν μόλις το 2002 από ένα Ρώσο μαθηματικό, τον Grigori Perelman, ο
οποίος μάλλον απέδειξε ένα θεώρημα που είναι γνωστό ως "εικασία του Poincaré.
Η εικασία αυτή διατυπωμένη πριν από 100 χρόνια ακριβώς από τον Γάλλο μαθηματικό
Henri Poincaré, λέει ότι η 3-σφαίρα είναι μοναδική μεταξύ των 3-πολλαπλοτήτων.
Καμιά άλλη 3-πολλαπλότητα δεν έχει τις ιδιότητές της που την κάνουν τόσο απλή.
Οι 3-πολλαπλότητες οι οποίες είναι πιο περίπλοκες από την 3-σφαίρα έχουν όρια
τα οποία μπορούμε να διαβούμε όπως όταν περνάμε σκαρφαλώνοντας τη ράχη ενός
τοίχου, ή έχουν πολλαπλές συνδέσεις από τη μια περιοχή τους προς μια άλλη,
όπως ένα μονοπάτι στο δάσος το οποίο διαχωρίζεται προσωρινά στα δύο και μετά
ξανασυνδέεται. Η εικασία του Poincaré λέει ότι η 3-σφαίρα είναι η μόνη συμπαγής
3-πολλαπλότητα η οποία δεν εμφανίζει αυτές τις πολυπλοκότητες.
Κάθε 3-διάστατο αντικείμενο που έχει τις ίδιες ιδιότητες με την 3-σφαίρα μπορεί
να πάρει τη μορφή μιας σφαίρας. Λέμε ότι ένα τέτοιο αντικείμενο είναι τοπολογικά
ισοδύναμο με την 3-σφαίρα και αποτελεί ένα αντίγραφό της. Η εργασία του Perelman
απαντά επίσης και στην τρίτη ερώτηση, ταξινομεί όλους τους τύπους των 3-πολλαπλοτήτων
που υπάρχουν.
Όταν λέμε 3-σφαίρα, δεν εννοούμε τη συνηθισμένη σφαίρα όπως την ξέρουμε στην
καθημερινή μας εμπειρία. Η επιφάνεια της συνηθισμένης σφαίρας όπως είναι η
επιφάνεια ενός μπαλονιού, είναι μια 2-σφαίρα αφού χρειάζονται μόνο 2 συντεταγμένες
(π.χ. το γεωγραφικό μήκος και γεωγραφικό πλάτος), για να προσδιοριστεί η θέση
ενός σημείου πάνω στην επιφάνεια του μπαλονιού. Επίσης, αν πάρουμε ένα μικρό
δίσκο από το μπαλόνι και τον εξετάσουμε με ένα μεγεθυντικό φακό, θα δούμε
ότι ο δίσκος μοιάζει πολύ με μια περιοχή ενός 2-διάστατου επιπέδου από ελαστικό.
Απλώς έχει επιπλέον μια ελαφρά καμπυλότητα. Σε ένα μικροσκοπικό έντομο που
σέρνεται πάνω στο μπαλόνι, η επιφάνεια του μπαλονιού θα μοιάζει τοπικά σαν
επίπεδο χωρίς καμπυλότητα. Αν το έντομο αυτό ταξίδευε αρκετά μακριά πάνω σε
μια γραμμή που θα του έμοιαζε ευθεία, τελικά θα επέστρεφε στο σημείο από το
οποίο ξεκίνησε.
Παρόμοια, ένα ον σε μια 3-σφαίρα, ή ένας άνθρωπος σε ένα σύμπαν τόσο μεγάλο
όσο το δικό μας, σχηματίζει την άποψη ότι βρίσκεται μέσα σε ένα 3-διάστατο
επίπεδο χώρο. Αν όμως πετάξει αρκετά μακριά προς οποιαδήποτε κατεύθυνση σε
μια ευθεία γραμμή, προοδευτικά θα διατρέξει περιφερειακά την 3-σφαίρα και
θα ξαναγυρίσει εκεί απ' όπου ξεκίνησε, όπως το έντομο στο μπαλόνι. Σφαίρες
υπάρχουν και για άλλες διαστάσεις. Η 1-σφαίρα μας είναι επίσης γνώριμη. Είναι
ακριβώς η περιφέρεια ενός κύκλου όπως τον γνωρίζουμε π.χ. από την περιφέρεια
ενός δίσκου (όχι το εσωτερικό του δίσκου.) Γενικά υπάρχει η n-διάστατη σφαίρα
ή απλώς n-σφαίρα.
Η 3-σφαίρα, η οποία βρίσκεται στο επίκεντρο της εικασίας του
Poincaré, χρειάζεται κάποια προσπάθεια για να γίνει αντιληπτή. Οι μαθηματικοί
που ασχολούνται με θεωρήματα σε χώρους ανώτερων διαστάσεων, δεν χρειάζεται
να τα κάνουν προσιτά στην όραση. Δουλεύουν με αφηρημένες ιδιότητες, καθοδηγούμενοι
από εμπνεύσεις βασισμένες σε αναλογίες προς λιγότερες διαστάσεις (προσέχουν
όμως να μην χρησιμοποιούν τις αναλογίες αυτές απερίσκεπτα.) Άλλοι επίσης,
σχηματίζουν μια ιδέα για το πως μοιάζουν τα αντικείμενα των πολλών διαστάσεων,
ξεκινώντας από παραδείγματα στις λιγότερες διαστάσεις, που μας είναι οικεία.
Η 3-σφαίρα είναι ακριβώς μια τέτοια περίπτωση.
1. Ξεκινείστε θεωρώντας ένα δίσκο, με ένα κύκλο να αποτελεί το όριό του. Για
τους μαθηματικούς, ο κύκλος είναι μια 2-διάστατη μπάλα, και ο κύκλος είναι
μια 1-διάστατη σφαίρα. Σημειώστε ότι μια μπάλα, σε όποιες διαστάσεις και να
την θεωρούμε, είναι το ανάλογο μιας μπάλας ποδοσφαίρου, ενώ μια σφαίρα είναι
πάντα η επιφάνεια μιας μπάλας, ανάλογη προς την επιφάνεια ενός μπαλονιού.
Τον συνηθισμένο κύκλο τον θεωρούμε 1-διάστατο, γιατί χρειαζόμαστε μόνο έναν
αριθμό για να καθορίσουμε μια θέση επ' αυτού.
2. Τώρα μπορούμε να κατασκευάσουμε την 2-διάστατη σφαίρα, από δύο αντίγραφα
του δίσκου. Παρ;αμορφώνουμε τον ένα δίσκο σε ημισφαίριο σαν το Βόρειο ημισφαίριο
της Γης και παραμορφώνουμε τον άλλο δίσκο να είναι όπως το Νότιο ημισφαίριο.
Τότε κολλάμε τα μαζί τα δύο ημισφαίρια στο όριό τους, το οποίο αποτελεί τον
ισημερινό. Ιδού η 2-σφαίρα.
3. Φαντασθείτε ένα μυρμήγκι που ξεκινάει από τον Βόρειο πόλο και βαδίζει κατά
μήκος ενός μεγίστου κύκλου, όπως π.χ. ο μεσημβρινός που περνάει από το Greenwich
της Αγγλίας (αριστερά.) Αν απεικονίσουμε την πορεία του πάνω στους δύο δίσκους
(δεξιά), βλέπουμε ότι το μυρμήγκι ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή, προς το άκρο
του Βόρειου δίσκου (1). Στη συνέχεια διασχίζει το όριο αυτό (α) και βρίσκεται
στο αντίστοιχο σημείο του Νότιου δίσκου όπου συνεχίζει πάλι σε ευθεία γραμμή
(2 και 3.) Όταν φτάσει ξανά στο άκρο (b), το διασχίζει προς τον βόρειο δίσκο
και συνεχίζει σε ευθεία προς το σημείο εκκίνησής του (4). Ακολουθήσαμε την
πορεία του πάνω στους δύο δίσκους καθώς αυτό στην πραγματικότητα κινείται
πάνω στην 2-σφαίρα. Το μόνο λεπτό σημείο είναι ότι μας φαίνεται πως η πορεία
του αλλάζει φορά και αντιστρέφεται, κάθε φορά που περνάει από τον ένα δίσκο
στον άλλο.
4. Στη συνέχεια θεωρείστε την 2-σφαίρα μας και τον 3-διάστατο όγκο που περιέχει
(περιέχει μια 3-διάστατη μπάλα), και κάνετε με τη μπάλα και τη σφαίρα, ότι
κάνατε με τον κύκλο και τον δίσκο.
Πάρτε δύο αντίγραφα και κολλήστε τα όριά τους. Δεν μπορούμε να
απεικονίσουμε πως να παραμορφώσουμε τις μπάλες στις 4 διαστάσεις για να σχηματιστούν
κάποια ανάλογα των ημισφαιρίων, αλλά δεν το χρειαζόμαστε πραγματικά. Αρκεί
να ξέρουμε ότι αντίστοιχα σημεία στις επιφάνειες των 2-σφαιρών, συνδέονται
μαζί με τον ίδιο τρόπο που συνδέονταν τα αντίστοιχα σημεία επί των κύκλων.
Το αποτέλεσμα της συνένωσης των δύο μπαλών είναι η 3-σφαίρα, η οποία είναι
η επιφάνεια μιας 4-διάστατης μπάλας. (στις 4 διαστάσεις όπου ζουν η 3-σφαίρα
και η 4-μπάλα, η επιφάνεια ενός αντικειμένου είναι 3-διάστατη. ) Μπορούμε
να αποκαλέσουμε τη μια μπάλα, βόρειο ημισφαίριο και την άλλη νότιο ημισφαίριο.
Ο βόρειος πόλος είναι στο κέντρο της βόρειας μπάλας (όπως ο βόρειος πόλος
είναι στο κέντρο του βόρειου δίσκου).
5. Φαντασθείτε τώρα ότι αυτές οι μπάλες είναι τεράστιες, άδειες περιοχές του
χώρου, και κάποιος μπαίνει σ' ένα διαστημόπλοιο και ξεκινάει από τον Βόρειο
Πόλο. Προοδευτικά, φτάνει στον ισημερινό[1], ο οποίος είναι ολόκληρη η σφαίρα
που περιβάλλει τη βόρεια μπάλα. Στον ισημερινό το διαστημόπλοιο μεταβαίνει
στο νότιο ημισφαίριο και ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή δια μέσω του κέντρου του
[που είναι ο νότιος πόλος] προς την αντίθετη πλευρά του ισημερινού [2 και
3]. Εκεί ξαναβγαίνει στο Βόρειο ημισφαίριο και ταξιδεύει πίσω προς το βόρειο
πόλο, απ' όπου ξεκίνησε. Έχουμε ήδη φανταστεί τον ταξιδιώτη μας να ταξιδεύει
πάνω στην επιφάνεια μιας 4-διάστατης μπάλας. Η επιφάνεια αυτή είναι μια 3-διάστατη
σφαίρα που αποτελείται από δύο μπάλες με ενωμένες τις δικές τους σφαιρικές
επιφάνειες, είναι ο χώροςστον οποίο εφαρμόζεται η εικασία του Poincarè.
Το σύμπαν μας θα μπορούσε να έχει τη μορφή μιας 3-διάστατης σφαίρας.
Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί στις 5 διαστάσεις για να κατασκευαστεί
μια 4-σφαίρα, αλλά γίνεται ακόμη πιο δύσκολο να απεικονίσουμε τι ακριβώς σςυμβαίνει.
Ομοίως κάθε δεδομένη n-σφαίρα μπορεί να κατασκευαστεί από δύο n-μπάλες. Αρκεί
να κολλήσουμε τα όρια των δύο μπαλών. Κάθε όριο είναι μια [n-1]-σφαίρα, ακριβώς
όπως το όριο ενός δίσκου (μια 2-μπάλα), είναι ένας κύκλος (μια 1-σφαίρα).
Το αποτέλεσμα είναι μια n-σφαίρα που περικλείει μια [n+1]-μπάλα.
|
