Πως προκύπτει η αρχή της απροσδιοριστίας από το πείραμα με το μικροσκόπιο ακτίνων γ;

Συχνές Ερωτήσεις, Μάρτιος 2003

Η περίφημη αρχή απροσδιοριστίας του Heisenberg έχει αποδειχτεί φορμαλιστικά με διάφορους τρόπους οι οποίοι στηρίζονται στις ιδιότητες αντιμετάθεσης των τελεστών που παριστάνουν τα διάφορα μεγέθη της κβαντομηχανικής. Ο ίδιος ο Heisenberg είχε προτείνει ένα περίφημο νοητό πείραμα για να φωτίσει από φυσική σκοπιά την αρχή της απροσδιοριστίας. Θα παρακολουθήσουμε στη συνέχεια μια ανάλυση πάνω στο πείραμα με το μικροσκόπιο των ακτίνων γ, που πρότεινε ο Heisenberg.

Ας ξεκινήσουμε θεωρώντας ένα υποθετικό μικροσκόπιο που λειτουργεί με ακτίνες γ, και στοχεύει στο να παρατηρήσει ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κάτω από τον αντικειμενικό φακό του.

Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο βρίσκεται ακριβώς κάτω από το κέντρο του φακού του μικροσκοπίου. Ο κυκλικός φακός και το ηλεκτρόνιο ορίζουν ένα κώνο με τη γωνία της κορυφής του ίση με 2Α. Το ηλεκτρόνιο τότε φωτίζεται από τ' αριστερά με ακτίνες γ - υψηλής ενέργειας φως που έχει το μικρότερο δυνατόν μήκος κύματος. Οι ακτίνες αυτές σύμφωνα με τις αρχές της οπτικής δίνουν την υψηλότερη δυνατή διακριτική ικανότητα. Πράγματι η κυματική οπτική μας λέει ότι το μικροσκόπιο μπορεί να διακρίνει αντικείμενα μεγέθους dx, το οποίο σχετίζεται με το μήκος κύματος λ των ακτίνων γ, σύμφωνα με τη σχέση:

Στην κβαντομηχανική όμως όπου ένα φωτεινό κύμα συμπεριφέρεται ως σωματίδιο, μια ακτίνα γ, η οποία χτυπάει ένα ηλεκτρόνιο, του δίνει μια ώθηση. Τη στιγμή που η ακτίνα (ή καλύτερα ένα φωτόνιο της ακτίνας), σκεδάζεται από το ηλεκτρόνιο και εισέρχεται στο φακό του μικροσκοπίου, το ίδιο το ηλεκτρόνιο φεύγει προς τα δεξιά. Για να μπορέσει να παρατηρηθεί από το μικροσκόπιο, πρέπει το φωτόνιο να σκεδαστεί σε οποιαδήποτε γωνία εντός του κώνου με γωνία 2Α. Στην κβαντομηχανική, το φωτόνιο γ μεταφέρει ορμή, σαν να ήταν σωματίδιο. Η ολική ορμή του p σχετίζεται με το μήκος κύματος με τη σχέση:

Στην ακραία περίπτωση της σκέδασης της ακτίνας γ προς την δεξιά άκρη του φακού, η ολική ορμή στην κατεύθυνση χ, θα είναι το άθροισμα της ορμής του ηλεκτρονίου P'x στην διεύθυνση χ και της ορμής του φωτονίου στην ίδια διεύθυνση:

όπου λ' είναι το μήκος κύματος του σκεδασθέντος φωτονίου.

Από την άλλη πλευρά, η ακτίνα γ που μπορεί να σκεδαστεί και να εισέλθει στο αριστερό άκρο του φακού ανακρούεται προς τα πίσω. Στην περίπτωση αυτή η ολική ορμή του συστήματος κατά τον άξονα x είναι:

Η τελική ορμή στον άξονα x σε κάθε περίπτωση πρέπει να είναι ίση με την αρχική ορμή στον ίδιο άξονα, εφόσον ισχύει η διατήρηση της ορμής. Θα πρέπει λοιπόν οι τελικές ορμές του συστήματος για τις δύο διαφορετικές σκεδάσεις να είναι ίσες:

Αν η γωνία Α του φακού είναι μικρή, τότε προσεγγιστικά τα μήκη κύματος δεν έχουν ουσιαστική διαφορά και μπορούμε να θέσουμε:

Έτσι παίρνουμε

βρίσκουμε μια αντίστροφη σχέση μεταξύ της ελάχιστης απροσδιοριστίας στη μέτρηση της θέσης του ηλεκτρονίου κατά τον άξονα x,( dx ), και της αντίστοιχης αβεβαιότητας στη μέτρηση της ορμής κατά τον άξονα x, ( dPx):

Για μεγαλύτερη απροσδιοριστία, οφειλόμενη και σε πειραματικούς λόγους ισχύει η ανισότητα:

Αυτή είναι η περίφημη σχέση απροσδιοριστίας του Heisenberg, με εξαίρεση τον αριθμητικό παράγοντα 4π, αφού η παραπάνω απόδειξη δίνει μόνο την τάξη μεγέθους του γινομένου.