Κύκλος-σφαίρα-υπερσφαίρα - Γεωμετρία στις 4 διαστάσεις
Μέρος 1ο

Άρθρο, Δεκέμβριος 2003

2o, 3o, 4o, 5o

A. "Όγκος " και "Επιφάνεια" του κύκλου-σφαίρας-υπερσφαίρας

Στη σειρά αυτή των άρθρων παρουσιάζονται μερικά στοιχεία για την γεωμετρία και τοπολογία των επιφανειών σε 4διάστατους χώρους Riemann(υπερσφαίρες) καθώς και η σχέση τους με την κοσμολογία. 

Ο πίνακας Ι δείχνει τις σχέσεις που προσδιορίζουν την υπερσφαίρα Riemann στις 4D και στα ξαδέρφια της, τον κύκλο και τη σφαίρα, καθώς και τις σχέσεις που προσδιορίζουν τον όγκο και το εμβαδόν επιφανείας των αντικειμένων αυτών. 

"N" είναι ο αριθμός των όρων στο αριστερό σκέλος της εξίσωσης και επίσης ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων της δομής. Ο όγκος Vⁿ   δηλώνει το σύνολο των σημείων για τα οποία η εξίσωση της δεύτερης στήλης δίνει τιμή μικρότερη ή ίση του r² . Παριστάνει δηλαδή τον τοπολογικό "όγκο" της δομής στις n διαστάσεις.  

S^{n - 1}, είναι η "επιφάνεια" της δομής και ισούται πάντα με την παράγωγο της έκφρασης που δίνει τον "όγκο" της δομής Vⁿ. Παριστάνει όλα τα σημεία στις n-1 διαστάσεις για τα οποία ισχύει η ισότητα στη στήλη 2. 

Τα ασυνήθιστα τοπολογικά χαρακτηριστικά μιας δομής S-τύπου αναφέρονται στα βιβλία με διάφορες τεχνικές εκφράσεις: 

• "Πεπερασμένη αλλά όχι φραγμένη", σημαίνει ότι έχει πεπερασμένο μέγεθος αλλά δεν έχει κάποιο τυπικό σύνορο;

• "Πολλαπλά συνεκτική", σημαίνει ότι υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να πάμε από το ένα σημείο στο άλλο. 

• "Καμπυλώνεται ξανά στον εαυτό της", σημαίνει ότι μια φαινομενικά ευθεία γραμμή από ένα σημείο σε χώρο S-τύπου, είναι μια κυκλική τροχιά, που λέγεται γεωδεσιακή, και επιστρέφει στο αρχικό σημείο από την αντίθετη κατεύθυνση

Μια δομή S-τύπου έχει θετική ολική καμπυλότητα, υπό την έννοια ότι αν r= σταθερό η πορεία μας γύρω από ένα κύκλο/σφαίρα /υπερσφαίρα έχει πάντα μήκος 2πr. Αν το r είναι πάρα πολύ μεγάλο, δεν υπάρχει τρόπος κάνοντας τοπικές μετρήσεις να πούμε αν η δομή στην οποία βρισκόμαστε είναι τύπου Vⁿ  και οθογώνια ή Sⁿ  συνολικά καμπύλη. 

Συχνά χρησιμοποιούμε την ορολογία ότι η δομή μικρότερης διάστασης S^n-1 είναι το "περίβλημα" ή "η μεμβράνη" ή "η επιφάνεια" της δομής με την αμέσως μεγαλύτερη διάσταση. Για παράδειγμα, λέμε ότι το εμβαδόν που ορίζεται ως 4πr²  είναι το περίβλημα ή η επιφάνεια (S²) της 3D σφαίρας της οποίας ο όγκος είναι 4πr³/3 (V³). 

Ως παράδειγμα επίσης αναφέρουμε ότι μερικοί φυσικοί πιστεύουν ότι τα φυσικά φαινόμενα που παρατηρούνται εξελίσσονται σε μια 3διάστατη βράνη. Αν και δεν είναι σίγουρο, πιθανόν η βράνη αυτή να είναι μια σφαιρική επιφάνεια ή περίβλημα Riemann εμφυτευμένη σ' έναν 4D χώρο.  

Αν και 2.300 χρόνια Εκλείδιας γεωμετρίας μας εμποδίζουν να συλλάβουμε καλά αυτή την καμπύλη "επιφάνεια Riemann" της δομής S³ οι γνωστές μας Ευκλείδιες σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ της S¹ και του V² καθώς και της S² με τον V³ , σχεδόν επαναλαμβάνονται και μεταξύ της  S³ και του V⁴.

 B. Η έννοια της εμφύτευσης

Το κλειδί για να καταλάβουμε τις 4D υπερσφαίρες Riemann είναι η ιδότητα της εμφυτευσιμότητας, η οποία σημαίνει ότι κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, (όταν ένας ή περισσότεροι όροι της εξίσωσης της δομής είναι μηδέν) η αλγεβρική εξίσωση με τους λιγότερους όρους καθώς και η δομή που παριστάνει αυτή, είναι επίσης λύση της εξίσωσης με τους περισσότερους όρους. 

Έτσι γνωρίζουμε ήδη ότι ένας κύκλος (x,y) είναι εμφυτευμένος δηλ. περιέχεται σε μια σφαιρική επιφάνεια (x,y,z). Και ο παραπάνω πίνακας δείχνει ότι και μια σφαιρική επιφάνεια είναι εμφυτευμένη σε μια υπερσφαίρα 4D. Η εμφύτευση αυτή δεν ισχύει όμως σε άλλες μη Riemann δομές όπως είναι οι δομές Friedmann 

Ας δούμε ως παράδειγμα την παρακάτω εξίσωση που περιγράφει μια υπερσφαίρα της οποίας η ακτίνα μεταβάλλεται με τον χρόνο (t):

Μπορούμε να φανταστούμε οποιονδήποτε τρόπο που γίνεται η μεταβολή της υπερσφαίρας με τον χρόνο. Για παράδειγμα έστω ότι ο καμπύλος αυτός χώρος έχει άπειρη ελαστικότητα, δηλαδή μπορεί να επεκτείνεται απεριόριστα και έχει ξεκινήσει πρακτικά από το μηδέν. Δεν μας ενδιαφέρει επίσης αν ο ρυθμός επέκτασης της υπερσφαίρας είναι χρονικά σταθερός ή όχι. 

Ότι όμως υποθέσεις και να κάνουμε, ένα πράγμα είναι σίγουρο: η γεωμετρική συμπεριφορά της υπερσφαίρας ανώτερης διάστασης, εφαρμόζεται εξίσου καλά και στις δομές μικρότερης διάστασης, κύκλο και σφαίρα. Είμαστε σίγουροι γι αυτό διότι οι εξισώσεις που ορίζουν αυτές τις δομές επαληθεύουν επίσης και την εξίσωση της υπερσφαίρας αν μία ή περισσότερες παράμετροι σ' αυτήν είναι μηδέν. 

Σαν ένα τετριμμένο παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι r = 4.000 km στην παραπάνω εξίσωση και ότι r = σταθερό (ώστε να αγνοήσουμε το t). Αυτό θα όριζε μια υπερσφαίρα με ακτίνα όσο περίπου η Γη. Αν ταξιδεύαμε πάνω σ' αυτήν σε μια πορεία που μας φαίνεται ευθεία, προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, μετά από 25.000 km περίπου θα ξαναγυρίζαμε στο σημείο από όπου ξεκινήσαμε. 

Πως το ξέρουμε αυτό;   

Διότι ο κύκλος και η σφαιρική επιφάνεια με την ίδια ακτίνα των 4.000km είναι εμφυτευμένα σ' αυτόν τον καμπύλο χώρο, και η περιφέρειά τους είναι επίσης ίση με 25.000km. 

Αυτή εμφυτευσιμότητα λειτουργεί και προς τις δύο κατευθύνσεις: Μπορούμε να κάνουμε κάποιες υποθέσεις για τον τρόπο που συμπεριφέρονται ο κύκλος ή η σφαίρα και να υποθέσουμε ότι η συμπεριφορά αυτή εφαρμόζεται και στην ανώτερης διάστασης υπερσφαίρα. 

Για παράδειγμα αν μια 4D υπερσφαίρα διαστέλλεται, ο ρυθμός διαστολής της που παρατηρούμε θα είναι απατηλά μεγάλος.

Γιατί;

Διότι ο κύκλος και η σφαιρική επιφάνεια είναι εμφυτευμένα σ' αυτή τη δομή, και γνωρίζουμε ότι η περιφέρεια του κύκλου και της σφαιρικής επιφάνειας αυξάνει ταχύτερα από την ακτίνα τους διότι η περιφέρεια = 2πr.

Ακριβώς η ίδια αρχή εφαρμόζεται και στον καμπύλο χώρο της υπερσφαίρας, διότι μπορούμε να κοιτάξουμε μόνο κατά μήκος των περιφερειών της. Έτσι αν η υπερσφαίρα περιγράφει σωστά το Σύμπαν που βλέπουμε, μπορούμε να ξεπεράσουμε ένα από τα σκοτεινά σημεία του μοντέλου της Μεγάλης Έκρηξης. Πράγματι μια διαστολή που μας φαίνεται γρήγορη μπορεί ίσως να εξηγηθεί αν σκεφτούμε ότι μετράμε πάνω σε μια επιφάνεια ή περιφέρεια της υπερσφαίρας (σε χώρο πολλαπλά συνεκτικό) και όχι κατά μήκος της ακτίνας της. Έτσι ο πραγματικόςρυθμός της διαστολής που εκφράζεται από τη σταθερά του Hubble H, θα είναι μικρότερος επί της "κρυμένης" ακτίνας στη δομή V³ και δεν είναι η τιμή που μετράμε πειραματικά πάνω σε μια περιφέρεια επί της S³.

Γ. Δύο μύθοι για την υπερσφαίρα

Πριν προχωρήσουμε στην καρδιά της 4D υπερσφαίρας, ας διαλύσουμε δύο μύθους γι αυτόν τον μη Εκλείδιο άγνωστο. 

Μύθος 1ος: Είναι αδύνατο να κατανοήσουμε τι συμβαίνει σε οποιαδήποτε δομή με περισσότερες από 3 χωρικές διαστάσεις αφού έχουμε συνηθίσει στον Ευκλείδιο κόσμο 

Λάθος!

Δεν είναι δύσκολο για μας να σκεφτούμε τουλάχιστον σε 1 παραπάνω διάσταση, δηλαδή στην S³ επιφάνεια της  V⁴ αρκεί να καταλάβουμε ότι η 3διάστατη σφαιρική επιφάνεια είναι εμφυτευμένη στο χώρο αυτόν και ότι αναγνωρίζουμε πως η νέα διάσταση είναι σε ορθή γωνία με την συμβατική 3διάστατη σφαιρική επιφάνεια.  
Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι το φως περιορίζεται σ' αυτή τη σφαιρική επιφάνεια και αναλύσουμε εκεί την αντίληψή μας για τα αντικείμενα, ξέρουμε λόγω της εμφύτευσης ότι το ίδιο θα συμβαίνει και σε ορθή γωνία προς αυτή τη σφαιρική επιφάνεια δηλαδή στην υπερσφαίρα.  

Μύθος 2ος: Η 4D υπερσφαίρα δεν μπορεί να απεικονιστεί εύκολα επειδή έχουμε συνηθίσει στη 3διάστατη σκέψη.

Ξανά πρόκειται για λάθος!

Για να δείξουμε γιατί αυτό είναι λάθος, ας εξετάσουμε πρώτα την επιφάνεια μιας σφαίρας. Αν και καταλαβαίνουμε ότι είναι καμπύλη, ξέρουμε ότι μπορούμε να την προσεγγίσουμε αρκετά καλά αναπαριστάνοντας κάθε ημισφαίριό της με ένα κύκλο. Το κέντρο του ενός κύκλου θα είναι "ο βόρειος πόλος" της σφαίρας και το κέντρο του άλλου κύκλου "ο νότιος πόλος". Η περιφέρεια κάθε κύκλου θα είναι ο ισημερινός της σφαίρας μας.  

Μ' αυτή τη μέθοδο βέβαια θα συναντήσουμε το ίδιο πρόβλημα που συναντάμε πάντα όταν επιχειρούμε να παραστήσουμε μια καμπύλη επιφάνεια όπως η Γη, χρησιμοποιώντας μια διάσταση λιγότερη: εμφανίζεται "ένα σπάσιμο" δηλαδή "μια ασυνέχεια" που κανονικά δεν υπάρχει. Το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε γι αυτό είναι να δείξουμε τους δύο κύκλους να εφάπτονται σε ένα μόνο σημείο, ακόμη και αν ξέρουμε ότι οι δύο περιφέρειες των κύκλων ακουμπάνε σε όλα τους τα σημεία.             

Έτσι η καμπύλη επιφάνεια της Γης στο χώρο S² μπορεί να προσεγγιστεί μ' έναν επίπεδο διδιάστατο χάρτη στο χώρο V², και αυτό ακριβώς γίνεται στις προβολές Mercator. 

Μια παρόμοια σκέψη μας επιτρέπει να απεικονίσουμε την υπερσφαίρα. Το εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι 2π²r³ αλλά ο χώρος της είναι καμπύλος. Μπορούμε λοιπόν να χωρίσουμε τον καμπύλο αυτόν χώρο στα δύο και να αναπαραστήσουμε κάθε "ημι-υπερσφαίρα" σαν μια συνηθισμένη τριδιάστατη σφαίρα. 

Κι εδώ θα έχουμε το ίδιο πρόβλημα όπως πριν. Οι δύο σφαίρες θα πρέπει να έχουν κοινά όλα τα σημεία των επιφανειών τους. Το καλύτερο όμως που μπορούμε να πετύχουμε είναι να τις δείξουμε να εφάπτονται σε ένα μόνο σημείο. Σαν δύο μπάλες που εφάπτονται σε ένα σημείο. 

Η κατασκευή με τις δύο σφαίρες που θα τη λέμε διπλή-φούσκα, απεικονίζει την υπερσφαίρα όπως οι δύο κύκλοι απεικονίζουν την σφαίρα. Έτσι παίρνουμε μια αρκετά καλή ιδέα της γεωμετρίας της δομής με τις περισσότερες διαστάσεις, χρησιμοποιώντας μια διάσταση λιγότερο απ' ότι πράγματι έχουν. 

Αν θεωρήσουμε ότι η διάδοση του φωτός γίνεται πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια, τότε κοιτάζουμε πάντα προς την αντίθετη κατεύθυνση καθώς κοιτάζουμε "γύρω" από την επιφάνεια. Και επειδή ισχύει η εμφύτευση, το ίδιο πράγμα συμβαίνει και στην υπερσφαίρα. Αν δηλαδή είμαστε στο κέντρο μιας από τις δύο σφαίρες που αναπαριστούν την υπερσφαίρα, θα κοιτάζουμε πάντα προς το κέντρο της άλλης σφαίρας. Το κέντρο αυτής της δεύτερης σφαίρας είναι η "αντίθετη πλευρά" ή ο "αντίποδας" της θέσης μας πάνω στην υπερσφαίρα. Είναι το πιο μακρινό σημείο που μπορούμε να δούμε πριν η ευθεία της όρασής μας, (γεωδεσιακή) αρχίσει να επιστρέφει ξανά προς τα πίσω.           

Ακριβώς όπως η πορεία γύρω από μια σφαίρα με σταθερή ακτίνα r είναι 2πr και μέχρι το μέσον της διαδρομής έως τον αντίθετο πόλο είναι πr.

Δ. Πως μπορούμε να δημιουργήσουμε μια υπερσφαίρα

Οι τοπολόγοι λένε ότι μπορούμε να δημιουργήσουμε μια υπερσφαίρα, αν στρέψουμε μια σφαιρική επιφάνεια σε ορθή γωνία προς τον εαυτό της. Τι σημαίνει όμως μια τέτοια έκφραση;

Ας θυμηθούμε πως μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σφαίρα στις 3D από ένα κύκλο. Αρκεί εδώ να περιστρέψουμε τον κύκλο γύρω από μια διάμετρό του και παίρνουμε την επιφάνεια της σφαίρας.           

Για να σχηματίσουμε την υπερσφαίρα εργαζόμαστε κατ' αναλογία ως εξής:            
Θεωρούμε μια σφαιρική επιφάνεια και την διαιρούμε σε δύο ημισφαίρια. Ένα βόρειο και ένα νότιο. Έτσι έχουμε ένα βόρειο σύνολο συντεταγμένων όπου οι συντεταγμένες x, z μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές αλλά η συντεταγμένη y έχει μόνο θετικές τιμές ή μηδέν. 
Στο νότιο ημισφαίριο αντίστοιχα, οι x, z μπορούν και πάλι να είναι θετικές ή αρνητικές, αλλά η συντεταγμένη y θα είναι αρνητική ή μηδέν. 
Ας δουλέψουμε πρώτα με το βόρειο ημισφαίριο. Θα πάρουμε κάθε σημείο πάνω σ' αυτό και θα το στρέψουμε με κέντρο το βόρειο πόλο, ώστε ν' απομακρυνθεί από την σφαιρική επιφάνεια, τηρώντας τις εξής 3 συνθήκες.

	Όλοι οι τόποι του ημισφαιρίου εγκαταλείπουν την σφαιρική επιφάνεια x, y, z κάθετα σ' αυτήν.
	Η απόσταση κάθε θέσης από το νότιο πόλο κατά τη διάρκεια της στροφής είναι πάντα η ίδια, όση ήταν και αρχικά επί του ημισφαιρίου στην επιφάνεια x, y, z και επίσης βόρειος πόλος και σημείο συνδέονται συνέχεια με γεωδεσιακή γραμμή ίδιου τύπου.  Αυτό σημαίνει π.χ. ότι επειδή αρχικά ο βόρειος πόλος απείχε από ένα σημείο του ισημερινού κατά  πr/2, Τόσο θα απέχει το σημείο αυτό από τον βόρειο πόλο και σε οποιαδήποτε άλλη θέση βρεθεί κατά τη διάρκεια της στροφής του.
	Συνεχίζουμε τη στροφή όλων των τόπων του ημισφαιρίου ώσπου να επιστρέψουν στις αρχικές θέσεις τους επί της επιφανείας x, y, z.

Εννοείται ότι τη διαδικασία αυτή επαναλαμβάνουμε και με το νότιο ημισφαίριο.
Ο καμπύλος χώρος που γεννιέται με τον τρόπο αυτό δεν είναι βέβαια μια σφαίρα, αλλά μια σφαίρα αποτελεί μια αρκετά καλή προσέγγισή του. Αυτός είναι και ο λόγος που παραπάνω αναφέρθηκε ότι δύο σφαίρες (φυσαλίδες) που εφάπτονται σ' ένα σημείο, αποτελούν μια αναπαράσταση μιας υπερσφαίρας.

2o, 3o, 4o, 5o

Σημείωση: Αυτό το άρθρο εντάσσεται σε μια σειρά που στόχο έχει εφαρμογές στη φυσική και την κοσμολογία.