Η εισαγωγή στη νέα εποχή των κβάντα

Μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα έγιναν πολλές προσπάθειες να εξηγηθούν θεωρητικά οι πειραματικές καμπύλες της φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας του μέλανος σώματος. Αυτές όμως απέτυχαν είτε γιατί οι φυσικοί ξεκινούσαν από λάθος θεωρητική βάση είτε γιατί κανένας τους δεν ήταν έτοιμος να κάνει το "απονενοημένο διάβημα" του Planck. Ας δούμε την διαδρομή που ακολούθησαν οι φυσικοί την εποχή εκείνη.

Ως μέλαν σώμα θεωρούμε ένα αντικείμενο που απορροφά όλη την προσπίπτουσα ακτινοβολία που πέφτει πάνω σε αυτό. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η μια μικρή οπή στο τοίχωμα μιας κοιλότητας συμπεριφέρεται κατά προσέγγιση ως μέλαν σώμα, διότι κάθε ακτινοβολία που εισέρχεται από τον εξωτερικό χώρο στην οπή θα απορροφηθεί σχεδόν τελείως από την κοιλότητα λόγω πολλαπλών ανακλάσεων μέσα σ' αυτήν.

Αντίστροφα αν η κοιλότητα βρίσκεται σε μια υψηλή θερμοκρασία, τότε η ενέργεια από το εσωτερικό κοίλωμα που ακτινοβολείται προς το περιβάλλον, θα λέγεται ακτινοβολία μέλανος σώματος. Η ενέργεια αυτή εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία των τοιχωμάτων της κοιλότητας, και δεν εξαρτάται από τον τύπο της ακτινοβολίας.

Όλα τα σώματα, σε οποιαδήποτε θερμοκρασία πάνω από το μηδέν της κλίμακας Kelvin, εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, η οποία επειδή έχει σαν αίτιο τη θερμοκρασία ονομάζεται θερμική ακτινοβολία. Τα χαρακτηριστικά της εξαρτώνται τόσο από την θερμοκρασία του σώματος καθώς και από τις ιδιότητες του σώματος. Όταν η θερμοκρασία του σώματος είναι χαμηλή (300 Kelvin), τα μήκη κύματος της ακτινοβολίας αυτής βρίσκονται στην αόρατη υπέρυθρη περιοχή, γι' αυτό και δεν είναι παρατηρήσιμη. Όταν όμως αυξηθεί η θερμοκρασία, τα μήκη λ της θερμικής ακτινοβολίας μετατοπίζονται προς την ορατή περιοχή. Πρώτα εμφανίζεται το κόκκινο χρώμα και σιγά-σιγά, με την αύξηση της θερμοκρασίας, και τα υπόλοιπα χρώματα. Στο τέλος το σώμα φαίνεται λευκό, όπως φαίνεται και το πυρακτωμένο νήμα βολφραμίου σε μια λάμπα.

Η ακτινοβολία από το μέλαν σώμα εκπέμπεται υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Υπάρχουν όλες οι συχνότητες με διαφορετική όμως ένταση η κάθε μία. Με ένα φασματοσκόπιο εξετάζουμε την κατανομή της ενέργειας που εκπέμπεται συναρτήσει της συχνότητας σε μια δεδομένη θερμοκρασία.

Οι παρακάτω καμπύλες είναι φτιαγμένες ακριβώς με αυτή τη μέθοδο.

Η κλασσική θεωρία που προσπαθούσε να εξηγήσει το φαινόμενο, θεωρούσε ότι η θερμική ακτινοβολία οφειλόταν στις θερμικές ταλαντώσεις των φορτισμένων σωματιδίων τα οποία ταλαντώνονται στην επιφάνια του σώματος, και εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, σύμφωνα με την θεωρία του Maxwell. Τα σωμάτια αυτά έχουν μια συνεχή κατανομή επιταχύνσεων, έτσι εξηγούσε και το συνεχές φάσμα της ακτινοβολίας.

Όμως η κλασσική θεωρία δεν επαρκούσε να εξηγήσει τις παραπάνω πειραματικές καμπύλες της εκπομπής της θερμικής ακτινοβολίας από ένα μέλαν σώμα.

Αρκετοί φυσικοί προσπάθησαν να δώσουν ερμηνείες για τη μορφή των καμπυλών. Αποδείχθηκε έτσι ότι η ακτινοβολία που εκπέμπεται από την κοιλότητα είναι ανεξάρτητη από το σχήμα και το μέγεθος της κοιλότητας , όπως επίσης είναι ανεξάρτητη από το υλικό των τοιχωμάτων, και εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία της κοιλότητας. Αυτή η παρατήρηση έγινε για πρώτη φορά το 1792 από τον Wedgewood, έναν κατασκευαστή πορσελάνης, που πρόσεξε ότι όλα τα σώματα κοκκίνιζαν όταν έφθαναν στην ίδια θερμοκρασία. Αργότερα όμως ο Kirchhoff , το 1859, διατύπωσε και επιστημονικά αυτή την πρόταση.

Το 1879 ο Αυστριακός φυσικός Stefan πειραματικά και το 1884 ο Boltzmann θεωρητικά, συνδυάζοντας την ηλεκτροδυναμική του Maxwell με την θερμότητα, έβγαλαν το νόμο
των Stefan - Boltzmann u=σΤ⁴,
όπου u είναι η αφετική ικανότητα του σώματος (η ισχύς της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέμπεται ανά μονάδα επιφανείας του σώματος u=P/S).

Η σχέση αυτή μας λέει ότι σε οποιαδήποτε θερμοκρασία Τ κι αν βρίσκεται ένα σώμα θα εκπέμπει ακτινοβολία, σε κάποια περιοχή του φάσματος. Ακόμη και στην θερμοκρασία των 273 Κ, εκπέμπει κάποια ακτινοβολία. Βέβαια κάθε σώμα όχι μόνο εκπέμπει αλλά και απορροφά ακτινοβολία. Έτσι αν η θερμοκρασία του Τ είναι μεγαλύτερη από την θερμοκρασία του περιβάλλοντός του τότε το σώμα τελικώς εκπέμπει ακτινοβολία.

Το 1893 ο φυσικός Wien, συνδυάζοντας τη θεωρία του Maxwell με την Θερμοδυναμική, κατόρθωσε να δείξει ότι η αφετική ικανότητα u του σώματος ήταν το γινόμενο του κύβου της συχνότητας επί μια συνάρτηση του λόγου της συχνότητας προς την θερμοκρασία.

Η αφετική ικανότητα u προκύπτει από την ολοκλήρωση της παρακάτω σχέσης για όλα τα μήκη κύματος.

όπου ρλ είναι η συνάρτηση φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας και αντιστοιχεί στην ένδειξη της έντασης που μας δίνει ένας φασματογράφος για κάθε μήκος κύματος λ. Δηλαδή το ρλ είναι ένα πειραματικό μέγεθος.

Αντικαθιστώντας με ξ το πηλίκο

καταλήγουμε τελικά στο

Από τον τύπο επίσης του Wien, που αναφέραμε πιο πάνω, μπορούμε να βρούμε το μήκος κύματος λmax στο οποίο συναντάμε τη μέγιστη τιμή (κορυφή), της συνάρτησης της φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας.

Όπως παρατηρούμε στις ανωτέρω καμπύλες της φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας ρ_λ μιας μελανής οπής συναρτήσει του μήκους κύματος (που έχουν βγει πειραματικά), καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία, το μέγιστο της αφετικής ικανότητας μετατοπίζεται προς τα μικρότερα μήκη κύματος.

Αν σε μια καμπύλη της φασματικής κατανομής της ακτινοβολίας μιας μελανής οπής γνωρίζουμε το μήκος κύματος στο μέγιστο της κατανομής, σε μια δεδομένη θερμοκρασία, μπορούμε να υπολογίσουμε σε οποιαδήποτε άλλη θερμοκρασία το μήκος λmax που της αντιστοιχεί.

Η συνάρτηση ρ_λ δεν έχει όριο προς τα μεγάλα μήκη κύματος, ενώ έχει κατώτατο όριο την λορ. Στην τιμή λορ η φασματική κατανομή της αφετικής ικανότητας ρ_λ μηδενίζεται. Η τιμή αυτή εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του μέλανος σώματος.

Λίγο πριν χαράξει ο 20ος αιώνας, οι φυσικοί Boltzmann, Maxwell, Gibbs αλλά και άλλοι είχαν θεμελιώσει τη Στατιστική Μηχανική, που περιέγραφε με στατιστικό τρόπο τις θερμικές ιδιότητες των σωμάτων. Η κινητική θεωρία δεχόταν ότι για να περιγράψουμε μαθηματικά την κινητική ενέργεια μεγάλου πλήθους μορίων σε ένα αέριο, είναι ανάγκη να εισαγάγουμε τη στατιστική μέθοδο. Η μέση ταχύτητα και η ενεργός ταχύτητα των μορίων έχουν μεγαλύτερη αξία από τη γνώση όλων των ταχυτήτων των μορίων σε μια δεδομένη στιγμή. Μπορούμε λοιπόν να παρακολουθούμε μακροσκοπικά τις μικροσκοπικές ιδιότητες των αερίων.

Μια γραφική παράσταση που δείχνει τη σχέση ανάμεσα στον αριθμό Ν των μορίων ενός αερίου, και των ταχυτήτων v των μορίων είναι η κατανομή κατά Maxwell. Σε διαφορετικές θερμοκρασίες αντιστοιχούν και διαφορετικές καμπύλες. Τις καμπύλες αυτές τις υπολόγισε πρώτος ο Maxwell και για αυτό φέρουν το όνομα του.

Ένας από τους βασικούς νόμους της Στατιστικής Μηχανικής, είναι το Θεώρημα της Ισοκατανομής, που συνάγεται από τους νόμους του Νεύτωνα. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό, για ένα μεγάλο πλήθος μορίων, που το καθένα έχει μ βαθμούς ελευθερίας, η μέση ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας του κάθε μορίου ισούται με (1/2)kT.

Στην παραπάνω καμπύλη, που αφορά την κατανομή κατά Maxwell του αζώτου, παρατηρούμε μια αξιοπρόσεκτη ομοιότητα με τις καμπύλες της θερμικής ακτινοβολίας του μέλανος σώματος.

Η καταστροφή στην υπεριώδη περιοχή ή η ασυμφωνία στα μικρά μήκη κύματος

Βλέποντας οι Rayleigh και Jeans την ομοιότητα των καμπυλών στις κατανομές κατά Maxwell και της συνάρτησης της φασματικής κατανομής ρ_λ , παρακινήθηκαν να εφαρμόσουν στη θερμική ακτινοβολία την Αρχή της Ισοκατανομής, που αποδείχθηκε τόσο επιτυχημένη στη κατανομή των ταχυτήτων. με στόχο να υπολογίσουν την συνάρτηση φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας.

Υπέθεσαν ότι η ακτινοβολία οφείλεται σ' ένα πλήθος ταλαντωτών που απαρτίζουν το μέλαν σώμα. Υπέθεσαν επίσης ότι η ενέργεια κατανέμεται εξίσου μεταξύ όλων των δυνατών συχνοτήτων δονήσεως των ταλαντωτών σε ένα μέλαν σώμα. Ο συνδυασμός της σχέσης Ε=kT, που μας δίνει τη μέση ενέργεια για κάθε ταλαντωτή (επειδή κάθε ταλαντωτής έχει δύο βαθμούς ελευθερίας) και ενός υπολογισμού που έκαναν για το πλήθος των ταλαντωτών ανά μονάδα όγκου, δίνει τις παρακάτω σχέσεις για την συνάρτηση φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας :

Η απόπειρα αυτή όμως οδήγησε σε καταστρεπτικά συμπεράσματα. Γιατί υπάρχει τεράστια διαφορά μεταξύ των μορίων ενός αερίου και της θερμικής ακτινοβολίας που απαρτίζεται από ηλεκτρομαγνητικές δονήσεις.

Για μεγάλα μήκη κύματος (στην περιοχή υπερύθρου) υπάρχει τάση να συμπέσουν η πειραματική καμπύλη και η καμπύλη του νόμου των RAYLEIGH - JEANS. Αλλά για μικρά μήκη κύματος (στην περιοχή του υπεριώδους) υπάρχει πλήρης διαφωνία. Η ασυμφωνία αυτή λέγεται "καταστροφή του υπεριώδους".

Η "καταστροφή" επήλθε εξ' αιτίας της χρησιμοποίησης του θεωρήματος της ισοκατανομής της ενέργειας.

Στα μικρά μήκη κύματος που αποτυγχάνει τελείως η προσπάθεια των RAYLEIGH - JEANS, επιβεβαιώνεται ωστόσο ένας άλλος τύπος, η σχέση που πρότεινε ο Wien.

Η σχέση του Wien για την συνάρτηση της φασματικής πυκνότητας της κοιλότητας

Ο Wien το 1896 κατέληξε στην παρακάτω ημιεμπειρική σχέση για την συνάρτηση της φασματικής πυκνότητας της αφετικής ικανότητας :

η οποία είναι σωστή για τα μικρά μήκη κύματος.

Έτσι για το ίδιο φαινόμενο, υπάρχουν δύο σχέσεις. Η μία είναι του WIEN του 1896, μια καλή προσέγγιση για τα μικρά μήκη κύματος και η άλλη των RAYLEIGH και JEANS, που οδηγεί με την χρήση της κλασσικής φυσικής στην καταστροφή του υπεριώδους και σε πλήρη αποτυχία της κλασσικής φυσικής να εξηγήσει την φασματική κατανομή της αφετικής ικανότητας του μέλανος σώματος.

Η παταγώδης αποτυχία της Κλασικής Φυσικής να ερμηνεύσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος οδήγησε τον Max Planck σε ένα, σύμφωνα με τον ίδιο, "απονενοημένο διάβημα":

Πρώτον να παραδεχθεί τη στατιστική φύση των νόμων της θερμοδυναμικής, και δεύτερον να παραδεχθεί ότι η ενέργεια ταλάντωσης των ατόμων παίρνει όχι συνεχείς τιμές αλλά διακριτές.

Στην κλασσική φυσική η ενέργεια των ταλαντωτών Ε=(1/2)DX² μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, στην κβαντική θεωρία όμως η Ενέργεια Ε των ταλαντωτών μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές της ποσότητας hf όπου h είναι λεγόμενη σταθερά του Planck.

Κατά την κλασσική θεωρία η ακτινοβολούμενη ενέργεια ενός μέλανος σώματος μπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται από στάσιμα κύματα ή συντονισμένες καταστάσεις της κοιλότητας, η οποία ακτινοβολεί.

Η κλασσική φυσική προβλέπει επίσης άπειρη πυκνότητα ολικής ενέργειας, επειδή αφενός επιτρέπει ακτινοβολία σε όλες τις συχνότητες και αφετέρου επιτρέπεται οποιαδήποτε τιμή ενέργειας, εξ' αιτίας της ισοκατανομής της ενέργειας μεταξύ όλων των δυνατών συχνοτήτων δόνησης. Αλλά στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο δεν μπορούμε να έχουμε άπειρη ενέργεια.

Για τον Planck αντιθέτως η επιτρεπόμενη ενέργεια ήταν καθορισμένη και ανάλογη με τη συχνότητα.

Έτσι σύμφωνα με τους Rayleigh - Jeans στην κοιλότητα θα δημιουργούνται εκτός της βασικής συχνότητας και άπειρες αρμονικές με ολοένα μεγαλύτερες συχνότητες. Αν ισχύει η ισοκατανομή της ενέργειας, τότε προκειμένου η συνολική ενέργεια να είναι πεπερασμένη, και να μοιράζεται εξίσου σε άπειρες συχνότητες, καταλήγουμε στο παράξενο συμπέρασμα ότι θα πρέπει σε κάθε κατάσταση δόνησης να αντιστοιχεί πάρα πολύ μικρή ενέργεια.

Η πρόταση του Planck, επιτρέπει στις μικρές συχνότητες να έχουμε μικρή ενέργεια ανά δόνηση γιατί η ενέργεια σε κάθε δόνηση είναι Ε=hf . Όσο υψηλότερη όμως είναι η συχνότητα, ναι μεν αυξάνεται η ενέργεια ανά δόνηση, αλλά η πρόταση του Planck προβλέπει επίσης ότι ελαττώνεται ο αριθμός των ταλαντωτών που μπορούν να κατέχουν αυτή την ενέργεια και περιορίζεται έτσι η συνεισφορά των υψίσυχνων συχνοτήτων στην ακτινοβολούμενη ενέργεια . Το αποτέλεσμα είναι ότι το ποσό της ενέργειας είναι μεν περιορισμένο, στις υψηλές συχνότητες, αλλά ο αριθμός των δονήσεων είναι απεριόριστος. Έτσι ακυρώνεται το παράδοξο του Jeans, που ήθελε να έχουν άπειρη ενέργεια οι ταλαντωτές στις υψηλές συχνότητες.

Παρακάτω βλέπουμε δύο καταστάσεις δονήσεων ακτινοβολίας σε δύο συχνότητες ν και 2ν.

Θεώρηση	Καταστάσεις ακτινοβολίας ανά μονάδα συχνότητας και όγκου	Πιθανότητα για κάθε κατάσταση ταλάντωσης	Μέση ενέργεια ανά κατάσταση
Κλασσική		Ίση πάντα για όλες τις καταστάσεις
Κβαντική		Η μέση ενέργεια ανά κατάσταση, δεν είναι πάντα ίση, είναι το γινόμενο της κβαντικής ενέργειας hν επί την πιθανότητα που υπάρχει να καταληφθεί η κατάσταση αυτή (Κατανομή της ενέργειας σύμφωνα με την Στατιστική των Einstein - Bose).

Ο Planck τελικά κατέληξε στην παρακάτω σχέση που περιγράφει τέλεια την πειραματική καμπύλη για την φασματική κατανομή:

Για μικρές συχνότητες, ο νόμος του Planck οδηγεί στο νόμο των Rayleigh - Jeans

ενώ για μεγάλες συχνότητες η συνάρτηση ρf φθίνει εκθετικά σύμφωνα με τα πειραματικά δεδομένα και ταιριάζει με το νόμο του Wien.

Αυτός ο τύπος του Planck σηματοδοτεί το βαθύ ρήγμα της Κλασσικής Φυσικής, εξ' αιτίας του γεγονότος ότι δεν μπόρεσε να εξηγήσει θεωρητικά τις πειραματικές καμπύλες της φασματικής κατανομής της αφετικής ικανότητας του μέλανος σώματος.

Ο Planck δεν ήταν και τόσο ικανοποιημένος από τη θεωρία στην οποία αναγκάσθηκε να καταλήξει. Τη θεωρούσε περισσότερο ως υπολογιστικό τέχνασμα, παρά ως θεμελιώδη αρχή, η οποία έμελλε να προκαλέσει ανεπανόρθωτο ρήγμα στο οικοδόμημα της Κλασικής Φυσικής.

Χαρακτήρισε τη θεωρία του, σε μια ερώτηση που του έκανε ο Αμερικανός φυσικός Wood, "σαν μια πράξη απελπισίας που την πάλευα επί έξι ολόκληρα χρόνια" στην οποία κατέφυγε, επειδή "έπρεπε πάση θυσία να βρεθεί μία θεωρητική ερμηνεία, οποιοδήποτε και αν ήταν το κόστος, με εξαίρεση βέβαια την παραβίαση των δύο θερμοδυναμικών νόμων".

Αυτό όμως το θεώρημα ήταν μια αναπόφευκτη συνέπεια της στατιστικής μηχανικής, που είναι βασισμένη στην Κλασσική Μηχανική.

Έτσι το έτος 1900, ή για την ακρίβεια 14 Δεκεμβρίου 1900, η δημοσίευση της εργασίας του Planck, ήταν αυτή που οδήγησε στο ξεκίνημα της νέας εποχής.

Η εισαγωγή στη νέα εποχή των κβάντα

Άρθρο, Νοέμβριος 2002