Η εξίσωση του Alexander Friedmann

Άρθρο, Ιούνιος 2002

Στον Αλέξανδρο Friedmann από τη Ρωσία οφείλεται η ανάπτυξη μιας δυναμικής εξίσωσης για το διαστελλόμενο σύμπαν στη δεκαετία του '20. Τότε ήταν μια εποχή που οι Einstein,   Willem de Sitter από την Ολλανδία και Georges Lemaitre από τη Γαλλία, δούλευαν τις εξισώσεις για την περιγραφή του σύμπαντος.

Ο Friedmann την ανέπτυξε τότε ως μια σχετιστική εξίσωση στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας, αλλά η περιγραφή εδώ θα περιοριστεί σε μια απλουστευμένη, μη-σχετικιστική έκδοση.

Παρακάτω φαίνεται μια κατάλληλη μορφή της εξίσωσης του Friedmann, με την οποία σχετίζεται ο χρόνος διαστολής και η θερμοκρασία για ένα μοντέλο της Μεγάλης Έκρηξης του σύμπαντος


Εκτός από την πυκνότητα και τη σταθερά βαρύτητας G, η εξίσωση περιέχει τη παράμετρο Hubble H, μια βαθμωτή (αριθμητική) παράμετρο R, και έναν παράγοντα Κ που ονομάζεται παράμετρος κυρτότητας. Η παράμετρος κυρτότητας δείχνει εάν το σύμπαν είναι ανοικτό ή κλειστό.

Ο Einstein είχε αρχικά προσθέσει κι έναν άλλο όρο, την διάσημη κοσμολογική σταθερά λ, με την οποία θα η εξίσωση αυτή θα περιέγραφε ένα στατικό Σύμπαν.

Η παράμετρος κυρτότητας

Η εξίσωση του Friedmann που αναφέρεται σε ένα διαστελλόμενο σύμπαν έχει μια παράμετρο κυρτότητας Κ, που είναι ενδεικτική του ρυθμού διαστολής και εάν ο ρυθμός διαστολής αυξάνεται ή μειώνεται .

Εάν η παράμετρος k=0 τότε η πυκνότητα είναι ίση με μια κρίσιμη τιμή στην οποία ο κόσμος θα διαστέλλεται για πάντα με ένα μειούμενο ρυθμό. Αυτό αναφέρεται συχνά ως μοντέλο σύμπαντος των Einstein-De Sitter σε αναγνώριση της εργασίας τους για τη διαμόρφωση του. Η τιμή της παραμέτρου k=0 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει την κρίσιμη πυκνότητα με βάση τη σημερινή τιμή της παραμέτρου Hubble H.

Για τιμή της k>0 η πυκνότητα της ύλης είναι αρκετά υψηλή και έτσι η βαρυτική έλξη θα σταματήσει τελικά την διαστολή του σύμπαντος που θα καταρρεύσει προς τα πίσω σε μια "Μεγάλη Σύνθλιψη". Αυτό το είδος του σύμπαντος περιγράφεται ως ένα Κλειστό Σύμπαν, ή ένα βαρυτικά συνδεδεμένος κόσμος. Για τιμή του Κ<0 το σύμπαν θα διαστέλλεται για πάντα, αφού δεν υπάρχει αρκετή πυκνότητα ύλης για να προκαλέσει τέτοια βαρυτική έλξη, που να σταματήσει την διαστολή.

Η κοσμολογική σταθερά

Ο Einstein πρότεινε μια τροποποίηση στην εξίσωση του Friedmann, που αναφέρεται σε ένα διαστελλόμενο σύμπαν. Πρόσθεσε έναν όρο που τον ονόμασε κοσμολογική σταθερά Λ, και η οποία μορφοποιεί την εξίσωση Friedmann ως εξής:

Το αρχικό κίνητρο για την εισαγωγή της κοσμολογικής σταθεράς Λ ήταν να γίνει δυνατό ένα στατικό σύμπαν, που θα ήταν ισοτροπικό και ομοιογενές. Όταν όμως η διαστολή του σύμπαντος καθιερώθηκε χωρίς να υπάρχει καμιά αμφιβολία, ο Einstein ανέφερε σύμφωνα με τις υπάρχουσες πληροφορίες την κοσμολογική σταθερά ως το "χειρότερο λάθος που έκανα ποτέ".

Αλλά η ιδέα μιας κοσμολογικής σταθεράς βρίσκεται το τελευταίο καιρό υπό σοβαρή συζήτηση. Φυσικοί προτείνουν ότι η φυσική ερμηνεία της κοσμολογικής σταθεράς ήταν ότι οι διακυμάνσεις του κενού είχαν επιπτώσεις στο χωρικό χρόνο. Μια μη-μηδενική τιμή για την κοσμολογική σταθερά θα μπορούσε να υπονοηθεί από τις μετρήσεις του μέτρου των πυκνοτήτων των απόμακρων γαλαξιών, αλλά τέτοιες μετρήσεις δίνουν ένα αρνητικό αποτέλεσμα, δείχνοντας έναν ανώτερο όριο της σταθεράς Λ

Αυτη η τιμή υπονοεί ότι στην συνολική κλίμακα του σύμπαντος, τα φαινόμενα των διακυμάνσεων του κενού ακυρώνονται. Αυτή η αξιολόγηση έρχεται σε μία εποχή, που οι θεωρητικοί υπολογισμοί υποδεικνύουν συνεισφορές της διακύμανσης του κενού από τα κουάρκ με μια τάξη 10^-6 m^-2.

Κρίσιμη πυκνότητα για ένα διαστελλόμενο Σύμπαν

Εάν η παράμετρος κυρτότητας k στην εξίσωση Friedmann, που αναφέρεται σε ένα διαστελλόμενο σύμπαν, είχε τιμή k=0, τότε το σύμπαν θα διαστέλλεται για πάντα με ένα μειούμενο ρυθμό διαστολής. Με αυτές τις συνθήκες, η εξίσωση Friedmann θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει την κρίσιμη πυκνότητα της ύλης στον κόσμο με βάση τη σημερινή τιμή της παραμέτρου Hubble H.

Σταθερά του Hubble

Η σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα που απομακρύνονται οι γαλαξίες και στην απόσταση που έχουν μεταξύ τους οι γαλαξίες, αποτελεί το νόμο του Hubble

όπου η τιμή της σταθεράς του Hubble είναι πηγή διαφωνιών.

1 pc είναι 3.26 έτη φωτός ή 206.265 AU ή 3.85x10¹⁵  m. , ενώ 1 έτος φωτός είναι 9.465x10¹⁵  m ή 6.324x10⁴   AU.

Οι τιμές που προτείνονται από διάφορα πειράματα και θεωρητικές ομάδες, έχουν εύρος από 50 έως 100 km/sec ανά  megaparsec.

Η μικρότερη τιμή αναφέρεται σε μια ηλικία των 20 δισεκατομμυρίων ετών, ενώ η υψηλώτερη τιμή δείχνει ηλικία σύμπαντος 10 δισεκατομμύρια έτη. Οι ταχύτητες απομάκρυνσης των απόμακρων γαλαξιών είναι γνωστές από την ερυθρή μετατόπιση z, αλλά οι αποστάσεις είναι πιό αβέβαιες. Η μέτρηση των αποστάσεων στους γειτονικούς γαλαξίες χρησιμοποιούν τους μεταβλητούς Κηφείδες σαν τη κύρια καθιερωμένη πηγή, αλλά οι πιο απόμακροι γαλαξίες πρέπει να εξετάζονται στον καθορισμό της σταθεράς του Hubble επειδή οι άμεσες αποστάσεις των Κηφειδών είναι όλες μέσα στην περιοχή της βαρυτικής έλξης.

Η χρήση του Διαστημικού Τηλεσκοπίου Hubble   έχει επιτρέψει την ανίχνευση των μεταβλητών Κηφειδών στο σμήνος της Παρθένου και έτσι μπορεί να συμβάλει να τεθεί η κλίμακα των αποστάσεων προς συζήτηση.

Η σταθερά του Χάμπλ και η ερυθρή μετατόπιση z

Ενώ η σταθερά του Χάμπλ δείχνει ότι η ταχύτητα απομάκρυνσης των γαλαξιών είναι ανάλογη της απόστασής τους, αυτή μετρείται με την ερυθρή μετατόπιση λόγω του φαινομένου Doppler. Η ερυθρή μετατόπιση των φασματικών γραμμών συνήθως εκφράζεται με μία παράμετρο, την παράμετρο z, που είναι η ανάλογη μετατόπιση του μήους κύματος. Η απόσταση σε συνάρτηση με την ερυθρή μεταόπιση z και τη σταθερά του Hubble δίνεται παρακάτω: