A) Σωματίδιο σε φρέαρ (πηγάδι) δυναμικού απείρου βάθους

Μια απλή περίπτωση στην οποία  μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση, είναι το παρακάτω πρόβλημα ενός σωματιδίου σε ένα πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους και πλάτους L.
Στο πηγάδι αυτό η δυναμική ενέργεια U(x)=0 στο διάστημα από 0<x<L ενώ έξω από το πηγάδι (x < 0 ή x > L ) η δυναμική ενέργεια U(x) είναι άπειρη, άρα δεν μπορούν να υπάρξουν εκεί σωματίδια.
Αυτό σημαίνει πως έξω από το πηγάδι η κυματοσυνάρτηση Ψ(x) είναι μηδέν, Ψ(x)=0.

Εντός του πηγαδιού όμως, λόγω της τιμής της δυναμικής ενέργειας U(x)=0, η εξίσωση του Schrödinger παίρνει τη μορφή

                            όπου       

Αντικαθιστώντας επίσης την σχέση k=nπ/x στην εξίσωση της Ψ(x) οι επιτρεπτές κυματοσυναρτήσεις είναι της μορφής:

                                                                     
ή υπολογίζοντας την σταθερά Α με την απαίτηση η συνολική πιθανότητα για το διάστημα 0 έως L να ισούται με 1, τελικά έχουμε: 

Στις παρακάτω εικόνες φαίνονται οι κυματοσυναρτήσεις, οι πυκνότητες πιθανότητας και οι ενεργειακές στάθμες σε ένα πηγάδι απείρου βάθους:

Το φρέαρ αυτό δυναμικού με άπειρα τοιχώματα χρησιμοποιείται για την εύρεση των ενεργειακών σταθμών των ηλεκτρονίων που περιφέρονται γύρω από τον πυρήνα των ατόμων.

Μια άλλη εφαρμογή είναι και το φρέαρ (πηγάδι) δυναμικού πεπερασμένου βάθους που χρησιμοποιείται στην περίπτωση των ελεύθερων ηλεκτρονίων μέσα σε ένα μέταλλο ορισμένου πλάτους.

Β) Σωματίδιο σε πηγάδι (φρέαρ) δυναμικού πεπερασμένου βάθους

Η κβαντομηχανική όμως λύση του προβλήματος με τη βοήθεια της εξίσωσης Schrödinger, ορίζει ότι η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εκτός του πηγαδιού (περιοχή Ι και ΙΙΙ) είναι διάφορη του μηδενός. Άρα είναι και η πυκνότητα πιθανότητας, που δίνεται από το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης Ψ^{2  .}

Για τις περιοχές Ι και ΙΙΙ η δυναμική ενέργεια ή δυναμικό U είναι διάφορη του μηδενός ενώ στην περιοχή Ι το δυναμικό είναι μηδέν.

Επίσης στις περιοχές Ι και ΙΙΙ η εξίσωση του Schrödinger γίνεται,   
Αντικαθιστώντας με   θα πάρουμε .

Η συνθήκη κανονικοποίησης επιβάλλει ότι για την περιοχή Ι (x<0) η κυματοσυνάρτηση Ψ γίνεται : Ψι=Αe^Dx

ενώ για την περιοχή ΙΙΙ η κυματοσυνάρτηση Ψ γίνεται Ψιιι=Αe^-Dx  δηλαδή μειώνονται εκθετικά καθώς αυξάνεται απολύτως το x.

Όμως στην περιοχή ΙΙ η κυματοσυνάρτηση είναι αρμονική, λόγω του γεγονότος ότι U=0. Έτσι η κυματοσυνάρτηση Ψιι γίνεται:    ΨΙΙ=Cημ(kx)+Eημ(kx) , όπου . 

Κυματοσυναρτήσεις των δύο χαμηλότερων ενεργειακών καταστάσεων σωματιδίου για n=1 και n=2 σε πηγάδι δυναμικού πεπερασμένου βάθους.  (Πάνω αριστερό σχήμα) Στο κάτω αριστερό σχήμα έχουμε τις πυκνότητες πιθανότητας για τις δύο χαμηλότερες ενεργειακές σωματιδίων σε πηγάδι δυναμικού πεπερασμένου βάθους. Να σημειωθεί πως οι κυματοσυναρτήσεις είναι συνεχείς στα όρια μεταξύ των τριών περιοχών, όπως επίσης ότι δεν μηδενίζονται στα τοιχώματα του πηγαδιού ούτε έξω από αυτό.  Παρατηρούμε ότι αυτές διεισδύουν και στις δύο απαγορευμένες περιοχές (Ι και ΙΙΙ) από την Κλασσική Φυσική. Επομένως η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο έξω από το πηγάδι είναι μεγαλύτερη του μηδενός. Το γεγονός ότι η κυματοσυνάρτηση Ψ είναι διάφορη του μηδενός έξω από το πηγάδι συνεπάγεται αύξηση του μήκους κύματος de Broglie στην περιοχή ΙΙ, πράγμα που σημαίνει μείωση της ορμής και της ενέργειας του σωματιδίου. Όπως στο πρόβλημα πηγαδιού απείρου βάθους έτσι κι εδώ οι δυνατές ενέργειες του σωματιδίου είναι κβαντισμένες. Η εφαρμογή αυτή χρησιμοποιείται στην περίπτωση των ελεύθερων ηλεκτρονίων μέσα σε ένα μέταλλο ορισμένου πλάτους.

Γ) Φαινόμενο σήραγγας και εξίσωση Schrodinger